1、导数的运算 1【例】求下列函数的导数：(1)yx22xlog3x；(2)y(x22x3)3x.【解析】(1)y2x2xln2 1xln3；(2)y(x22x3)3x(x22x3)(3x)(2x2)3x(x22x3)3xln3.本题2个小题分别考查了常见函数的导数以及导数的四则运算法则，要求掌握导数的公式以及导数的四则运算并能熟练运用【变式练习 1】求函数 y1x1x2cosx的导数【解析】y1x1x2cosx1x1x2cosx1x22cos2x1x2cosx1x1x2cosx1x2cosx1x22cos2x1x2cosx1x2xcosx1x2sinx1x22cos2xx22x1cosx1x1x
2、2sinx1x22cos2x.导数的几何意义【例2】(1)已知曲线y1/3x3在P点处的切线方程为12x3y160，求点P的坐标；(2)求过点P(3,8)且与抛物线yx2相切的直线方程003200000023002002000()1()()()3332.31216,2312,221682(2,)3(1)P xyPy yfxx xyxxx xyxxxyxxxxxxP 设，则在 点的切线方程为-=-，即-=-，则=-已知的切线方程为比较得得故 ，于是点 的坐标为【解析】(2)因为点P不在抛物线上，故设抛物线上点A(xA，yA)处的切线方程为yyAf(xA)(xxA)，即yxA22xA(xxA)，所
3、以y2xAx xA2.因为点P(3,8)在该直线上，所以xA2 6xA80，解得xA2或xA4.所以过点P(3,8)且与抛物线yx2相切的直线方程为4xy40或8xy160.函数在点(x0，y0)处的导数是函数图象在点(x0，y0)处切线的斜率已知切点求切线方程与已知切线方程求切点坐标是两个不同的问题，前者直接应用导数的几何意义，后者以导数的几何意义为基础，设出切点，写出切线方程，由于两切线是同一条直线，对应的系数相等，从而求出切点这是本题第(1)问的解题思想；第(2)问是相近的问题，当切线过曲线外一点时，处理方法还是寻找切点【变式练习2】(1)若曲线yx21上点P处的切线与曲线y2x21也相
4、切，求点P的坐标(2)求过点P(0,2)且与曲线y2xx3相切的直线方程 222222222(1)(1)2()2121(21)214()421242 33,331213 73123PaaPyaa x ayaxayxbbybb x bybxbabababP 设 点的坐标为，+，则在 点的切线方程为-+=-，即=+，与曲线=-相切的切点为，-，对应的切线方程为+=-，即=-+-，比较与有,所以=,所【以点 的坐标为(,解析】).(2)设曲线上点A(x0，y0)处的切线方程为yy0f (x0)(xx0)，即y(2x0 x03)(23 x02)(xx0)，即y(23 x02)x2 x03.因为点P(0
5、,2)在该直线上，所以x03 1，则x01，所以切点的坐标为A(1,1)所以过点P(0,2)且与曲线y2xx3相切的直线方程为y1(x1)，即xy20.导数的物理意义【例3】质点作直线运动，起点为(0,0)，路程s是时间t的二次函数，且其图象过点(1,6)，(2,16)(1)求质点在t2秒时的瞬时速度；(2)求质点运动的加速度 22.0.1,62,1662,4216424.4424 2412.212.()44()14.42.satbtccabaabbsttstvstv ttav t设 因函数的图象经过原点，所以 又函数图象经过点，所以解得所以 故 ，则 所以质点在 秒时的瞬时速度为因为 ，则
6、所以质点运动的加【】速度为解析函数的导数的物理意义：位移函数对时间的导数等于速度，速度函数对时间的导数等于加速度一般设位移是时间的函数ss(t)，则ss(t)v(t)是速度函数，而vv(t)的导数vv(t)a(t)是加速度函数【变式练习3】2000011212322.142Sgtttttttt已知自由落体的运动方程，求：落体在 到 这段时间内的平均速度；落体在 时的瞬时速度；落体在 秒到 秒这段时间内的平均速度；落体在 秒时的瞬时速度 0002200020000111()2(2)2221(2).2012tttttsg ttgtgtttsvgtttstvttsgtvgtt 落体在 到 落体在 到
7、这段时间内路程的增量为，因此，落体在这段时间内的平均速度为：落体在 时的瞬时速度为，当时，所以【解析】；011022.10.111(2 20.1)2.0520.09()2202219.6(/)34tttttvggtvg 落体在 秒到 秒时，其时间增量 秒，由知平均速度为米/秒由知落体在 秒时的瞬时速度为米 秒 导数的基本应用【例4】20()ln(2)()21323()(3)(11)xf xxaafxyf xya已知函数=-为常数 求的值；当 时，曲线 在点，处的切线经过点 ，求 的值 200013()312()ln(2)1(3)293ln(32)(1)(3),239(1)3(11)23951(
8、1)3,22.2xfxfxaaxf xxyayxaayxaaaaa 因为-，所以-因为，所以曲线在点，的切线方为-即,因为该切线经过点 ，所以解得【解析】求曲线的切线的关键是找出切点，要注意区分切线所经过的点是不是切点本题切线经过的点(1，1)不是切点，因此先要假设切点，再求出切线方程，然后由点(1，1)在曲线的切线上，求出a的值【变式练习4】321()2()()312()f xxxax ayf xlyxalyf xR已知函数，在曲线 的所有切线中，仅有一条切线 与直线 垂直求 的值和切线 的方程；设曲线 上任意点的切线的倾斜角为，求 的取值范围 003200002200()123441.21
9、6 4(1)032232(2)3338 0.1xyyxxaxy xx axx aaaxxylyxxy 设切点坐标为，其中=-+由于=-+，故得-=-依题意，该方程有且只有一个实数根，于是=-+=，得=，从而=，即=，=故切线 的方程为，即+【-】=解析().243(2)2111.30)224xykyxxxk设曲线上任意一点，处的切线的斜率为因为 ，所以由正切函数的单调性可得倾斜角 的取值范围为，1.曲线 yx32x4 在点(1,3)处的切线的倾斜角为 45.【解析】y3x22y|x11tan14.2.抛物线y4x2上到直线y2x4的距离最短的点P的坐标是_.1 1(,)4 4248188241
10、1 1(,)44 4yxyxkxxxyP因为，所以 ，所以曲线上任一点的切线斜率为 ，令，所以 代入抛物线方程得：，所以所求的点为【解析】3.已 知 f(x)x2 2xf(1)，则 f(0)_.【解析】因为f(x)2x2f(1)，令x1得f(1)2，所以f(0)2f(1)4.44.若存在过点(1,0)的直线与曲线 yx3 和 yax2154x9 都相切，则 a 1 或2564.【解析】设过(1,0)的直线与 yx3 相切于点(x0，x30)，所以切线方程为：yx303x20(xx0)即 y3x20 x2x30，又(1,0)在切线上，则 x00 或 x032，当 x00 时，由 y0 与 yax
11、2154 x9 相切可得 a2564，当 x032时，由 y274 x274 与 yax2154 x9 相切可得 a1，所以1 或2564.5.()()(22)74120.1()2()0bf xaxyf xfxxyyf xyf xxyx设函数=-,曲线 在点，处的切线方程为 求 的解析式；证明：曲线 上任意一点处的切线与直线 和直线 所围成的三角形面积为定值，并求此定值 0200200002002007741203.412()2121322()73443()()1+3()(1+)(),33()(1+)2)1(xyyxbxyfxaxbaaf xxbbxaP xyyf xyxP xyy yxxxy
12、xxxxx 方程 可化为 当 时，又,于是,解得,故设，为曲线 上任意一点由知曲线在点，处的切线方程为-即【解析】00000000060,06(0,)2(2,2),()016|2|62()06.xyxxxyxyxxyxxxP xyxyxxxyf xxyx 令 ，得从而得切线与直线 的交点坐标为令 ，得 ，从而得切线与直线 的交点坐标为所以点，处的切线与直线 ，所围成的三角形面积为-故曲线 上任一点处的切线与直线 ，所围成的三角形的面积为定值，此定值为1导数的物理意义如果yf(x)表示位移s对时间t的函数，则其在tt0处的导数的意义是物体在时刻tt0时的瞬时速度vs(t0)2导函数函数yf(x)在区间(a，b)内每一点的导数都存在，则函数yf(x)在(a，b)内可导，其导数也是(a，b)上的函数，称为yf(x)的导函数，记为f(x)函数yf(x)的导函数f(x)在xx0处的函数值f(x0)就是f(x)在x0处的导数，即f(x0)f(x)|xx0(注意并非所有的函数都有它的导函数)3函数f(x)在点x0处有导数，则函数f(x)在该点处必有切线，且导数值等于该切线的斜率，但函数f(x)在点x0处有切线，函数f(x)在该点处不一定可导