1、上海市嘉定区封浜高级中学2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）一、填空题1.抛物线的焦点坐标是_【答案】【解析】抛物线的焦点在轴上，且，所以抛物线的焦点坐标为，故答案为.2.平面直角坐标系中点（1,2）到直线的距离为_【答案】【解析】【分析】根据点到直线的距离公式完成计算即可.【详解】因为点为，直线为，所以点到直线的距离为：.故答案为：.【点睛】本题考查点到直线距离公式的运用，难度较易.已知点，直线，则点到直线的距离为：.3.若复数满足（是虚数单位），则的虚部是_.【答案】2【解析】【分析】根据复数代数形式的除法化简复数，即可得解；【详解】解：因为，所以，故的虚部是2故答案
2、为：2【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算以及复数的相关概念，属于基础题.4.世界杯小组赛，从四支队伍中出线两支队伍，则出线队伍共有_种不同的组合.【答案】6【解析】【分析】直接根据组合数求解即可【详解】解：从四支队伍中出线两支队伍，则出线队伍共有种不同组合，故答案为：6【点睛】本题主要考查组合的应用，属于基础题5.侧棱长为3，底面面积为8的正四棱柱的体对角线的长为_.【答案】5【解析】【分析】利用正四棱柱的特征求出底面边长，再利用体对角线的公式即可计算结果.【详解】解：正四棱柱的底面为正方形，设底面边长为，侧棱长为，则有，所以，则四棱柱的体对角线为.故答案为：5.【点睛】本题考查正四棱柱的
3、体对角线长的计算，熟悉正四棱柱的图形特征是解题的关键，属于基础题.6.双曲线的两条渐近线的夹角大小为_.【答案】【解析】【分析】根据双曲线方程，求得其渐近线的方程，结合两直线的位置关系，即可求解.【详解】由双曲线，可得，所以其的渐近线方程分别为和，又由直线与相互垂直，所以双曲线的两渐近线的夹角为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质，以及两直线的位置关系的应用，意在考查运算与求解能力，属于基础题.7.底面半径和高均为3的圆柱的表面积为_.【答案】【解析】分析】先根据圆柱的侧面积公式求解侧面积，再加上两个底面积得结果.【详解】底面半径和高均为3的圆柱的表面积为故答案
4、为：【点睛】本题考查圆柱的表面积，考查基本分析求解能力，属基础题.8.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则_.【答案】【解析】【分析】求出双曲线的，由题意可得，解方程即可得到【详解】解：因为双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，所以，所以，解得故答案为：【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查运算能力，属于基础题9.已知空间直角坐标系中，某二面角的大小为，半平面和的一个法向量分别为，则_（结果用反三角函数值表示）.【答案】【解析】【分析】根据向量数量积求向量夹角，再根据二面角与向量夹角关系得结果.【详解】因为，所以，因为 ，所以故答案为：【点睛】本题考查求二面角、根据向量数量积求向量夹角，考查基本分析求解
5、能力，属基础题.10.二项式的展开式中各项系数的和是_.【答案】27【解析】【分析】根据赋值法，令即得结果.【详解】令，则，即二项式的展开式中各项系数的和是27故答案为：27【点睛】本题考查二项式展开式中各项系数的和、赋值法，考查基本分析求解能力，属基础题.11.有一个倒圆锥形的容器，其底面半径是5厘米，高是10厘米，容器内放着49个半径为1厘米的玻璃球，在向容器倒满水后，再把玻璃球全部拿出来，则此时容器内水面的高度为_厘米【答案】6【解析】【分析】设水面的高度为，根据圆锥体的体积等于全部玻璃的体积加上水的体积列方程求解即可.【详解】解：设在向容器倒满水后，再把玻璃球全部拿出来，则此时容器内水
6、面的高度为，则，解得.故答案为：6.【点睛】本题考查圆锥体积和球的体积的运算，关键要找到体积之间的关系，是基础题.12.已知定点，点在抛物线上运动，若复数、在复平面内分别对应点、的位置，且，则的最小值为_.【答案】2【解析】【分析】根据复数几何意义得函数关系式，再根据函数性质求最值，即得结果.【详解】设，所以当且仅当时取等号，即的最小值为2故答案为：2【点睛】本题考查复数几何意义、两点间距离公式，考查基本分析求解能力，属基础题.二、选择题13.在空间内，异面直线所成角的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由异面直线所成角的定义可得出答案.【详解】由异面直线所成角的
7、定义可知,过空间一点分别作相应直线的平行线,两条相交直线所成的直角或锐角为异面直线所成角,所以两条异面直线所成角的取值范围是,故选B.【点睛】本题考查立体几何中异面直线所成的角,需要学生熟知异面直线的定义以及性质,考查了转化思想,属于基础题.14.是“直线与直线相互垂直”的（ ）.A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】对分类讨论，利用两条相互垂直的直线与斜率之间的关系即可得出【详解】解：对于：直线与直线，当时，分别化为：，此时两条直线不垂直，舍去；当时，分别化为：，此时两条直线相互垂直，因此满足条件；当，0时，两条直线的斜
8、率分别为：，由于两条直线垂直，可得，解得或（舍去）综上可得：两条直线相互垂直的充要条件为：或是“直线与直线相互垂直”的充分而不必要条件故选：【点睛】本题考查了两条相互垂直的直线与斜率之间的关系，考查了分类讨论思想、推理能力与计算能力，属于中档题15.曲线图像（ ）A. 关于轴对称B. 关于原点对称,但不关于直线对称C. 关于轴对称D. 关于直线对称，关于直线对称【答案】D【解析】【分析】构造二元函数，分别考虑与、的关系，即可判断出相应的对称情况.【详解】A，所以不关于轴对称；B，所以关于原点对称，也关于直线对称；C，所以不关于轴对称；D，所以关于直线对称，同时也关于直线对称.故选：D.【点睛】
9、本题考查曲线与方程的综合应用，难度一般.若曲线关于轴对称，则将曲线中的换成，此时曲线的方程不变；若曲线关于轴对称，则将曲线中的换成，此时曲线的方程不变；若曲线关于对称，则将曲线中的换成、换成，此时曲线的方程不变；若曲线关于原点对称，则将曲线中的换成、换成，此时曲线的方程不变.16.下列命题中,正确的命题是（ ）A. 若，则B. 若，则不成立C. ，则或D. ，则且【答案】C【解析】【分析】A根据复数虚部相同，实部不同时，举例可判断结论是否正确；B根据实数的共轭复数还是其本身判断是否成立；C根据复数乘法的运算法则可知是否正确；D考虑特殊情况：，由此判断是否正确.【详解】A当时，此时无法比较大小，
10、故错误；B当时，所以，所以此时成立，故错误；C根据复数乘法的运算法则可知：或，故正确；D当时，此时且，故错误.故选：C.【点睛】本题考查复数的概念以及复数的运算性质的综合，难度一般.(1)注意实数集是复数集的子集，因此实数是复数；(2)若，则有.三、解答题17.已知复数，.（1）若，求实数的取值范围；（2）若是关于的方程的一个根，求实数与的值.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根据题意，结合复数的运算和模的计算公式，得到，即可求解实数的取值范围；（2）由是方程的一个根，得到也是此方程的一个根，结合根据与系数的关系，即可求解.【详解】（1）由题意，复数，.则又由因为，所以，即解得.
11、所以实数的取值范围为.（2）因为是方程的一个根，则也是此方程的一个根，可得，解得或，且满足，所以或.【点睛】本题主要考查了复数的运算，复数模的计算，以及复数方程和复数相等的条件的应用，着重考查推理与运算能力.18.如图，设长方体中，直线与平面ABCD所成角为求三棱锥的体积；求异面直线与所成角的大小【答案】（1）（2）【解析】【分析】转换顶点，以顶点，易求体积；平移至，化异面直线为共面直线，利用余弦定理求解【详解】解：连接AC，则为与平面ABCD所成的角，连接，易知，或其补角即为所求，连接BD，在中，由余弦定理得：，故异面直线，所成角的大小为【点睛】此题考查了三棱锥体积，异面直线所成角的求法等，
12、难度不大19.已知的二项展开式中，第三项的系数为7.（1）求证：前三项系数成等差数列；（2）求出展开式中所有有理项（即的指数为整数的项）.【答案】（1）证明见解析；（2）；.【解析】【分析】（1）先根据二项展开式通项公式得第三项的系数，再解方程得，最后根据二项展开式通项公式写出前三项系数，根据等差中项性质即可判断；（2）先根据二项展开式通项公式得的指数，再根据的指数为整数确定对应项，即得结果.【详解】解：（1），（负值舍去）所以前三项分别为，所以前三项系数分别为1，4，7，前三项系数成等差数列.（2），展开式中的指数为整数，所以展开式中所有有理项为：、.【点睛】本题考查二项展开式通项公式、等差
13、数列判断，考查基本分析求解能力，属基础题.20.已知椭圆的左右顶点分别是，点在椭圆上，过该椭圆上任意一点P作轴，垂足为Q，点C在的延长线上，且（1）求椭圆的方程；（2）求动点C的轨迹E的方程；（3）设直线（C点不同A、B）与直线交于R，D为线段的中点，证明：直线与曲线E相切；【答案】（1）；（2）；（3）证明略；【解析】【分析】（1）根据顶点坐标可知，将代入椭圆方程可求得，进而得到椭圆方程；（2）设，可得到，将代入椭圆方程即可得到所求的轨迹方程；（3）设，可得直线方程，进而求得和点坐标；利用向量坐标运算可求得，从而证得结论.【详解】（1）由题意可知：将代入椭圆方程可得：，解得：椭圆的方程为：（
14、2）设，由轴，可得：，即 将代入椭圆方程得：动点的轨迹的方程为：（3）设，则直线方程为：令，解得： ，即直线与曲线相切【点睛】本题考查直线与椭圆、直线与圆的综合应用问题，涉及到椭圆方程的求解、动点轨迹的求解问题、直线与圆位置关系的证明等知识；求解动点轨迹的常用方法是利用动点表示出已知曲线上的点的坐标，从而代入已知曲线方程整理可得动点轨迹.21.在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知曲线上任意一点（其中）到定点的距离比它到轴的距离大1（1）求曲线的轨迹方程；（2）若过点的直线与曲线相交于A、B不同的两点，求的值；（3）若曲线上不同的两点、满足，求的取值范围【答案】（1）；（2）；（3）【解析】试题
15、分析：（1）依题意知，动点P到定点F（1，0）的距离等于P到直线x=-1的距离，曲线C是以原点为顶点，F（1，0）为焦点的抛物线，由此可求曲线C方程；（2）当l平行于y轴时，其方程为x=1，可得，当l不平行于y轴时，设其斜率为k，则由得，利用韦达定理及向量的数量积公式，可求的值；（3）设，利用数量积公式及，可得，进一步表示出，即可确定的取值范围试题解析：依题意知，动点到定点的距离等于到直线的距离，曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线 曲线方程是（2）当平行于轴时，其方程为，由解得、，此时当不平行于轴时，设其斜率为，则由得设，则有，（3）设，化简得当且仅当时等号成立当的取值范围是考点：1直线与圆锥曲线的综合问题；2平面向量数量积的运算；3轨迹方程