1、三角形解的个数的判定【例1】在ABC 中，若 a18，b24，A44，则此三角形解的情况为_【解析】因为 bsinAbsin44bsin4524 22 12 21824，所以 bsinAab，所以此三角形有两解已知两边a、b和其中一边a的对角A(A为锐角)，解三角形的解的情况：absinA absinA bsinAab ab无解 一解 两解 一解【变式练习1】在ABC中，ax，b2，B45.若ABC有两解，则x的取值范围是 _2(2,2 2)2ABCBCCACDxbxx如图，若有两解，则，即，解得【解析】(2,2 2)判断三角形的形状【例2】已知a、b、c分别是ABC的三个内角A、B、C所对的
2、边若accosB，且bcsinA，试判断ABC的形状222222290.RtsinacbacacabcCaaABCAbcaccABC由余弦定理得，整理得 ，所以 在中，所以 ，所以是等腰直角【解析】三角形判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两条途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间
3、的关系，通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状此时要注意应用ABC这个结论在这两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解【变式练习2】在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，请判断ABC的形状22222222sin()sin()sincossincossinsincossinsin 2sin 2cossin2222.2abABabABaABAbABBBAABABABABABABABC【解依题意得，则，即，所以，则有或，即 或 所以为等腰三角形或直角析】三角形正弦定理、余弦定理、面积公式的灵活应用 3sincos2.1s
4、in233ABCACAAAABCSBC在中，已知，求的值；若的面积 ，求【例】的值 222sincos2sin()24sin()1.450444.42413 2sin32 2.242cos298232 25512.2AAAAAAAASAC ABAABABBCACABAC ABABC 由，得由此及，即，得，故 由 ，得由此及余弦定理得 】，故【解析本题将三角恒等变换、求值与解三角形综合一起考查，这是近几年高考的一种命题趋势，注意综合运用应用正弦定理进行边角互化，利用三角公式进行角的统一，达到化简的目的在解三角形中，利用正、余弦定理进行边角转化是解题的基本方法在三角函数的化简、求值中，常要重视角的
5、统一，函数的统一，降次思想的应用3【变式练习】(2011苏北四市三模)如图，在平面直角坐标系 xOy中，点 A 在 x 轴正半轴上，直线 AB 的倾斜角为34，OB2，设AOB，(2，34)(1)用 表示 OA；(2)求OA OB 的最小值【解析】(1)在ABC 中，因为 OB2，BAO4，ABO434，由正弦定理，得 OBsin4OAsinABO，即 222OAsin34，所以 OA2 2sin(34)(2)由(1)得OA OB|OA|OB|cos4 2sin(34)cos，2(sin2cos2)22 2sin(24)2，因为(2，34)，所以 24(54，74)，所以当 2432，即 58
6、 时，OA OB 的最小值为22 2.测量距离问题【例1】如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC.小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里有两条笔直的小路AD，DC，且拐弯处的转角为120.已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长(精确到1米)22222250030060.2cos601500(300)2500(300)24900445()114451rCDDACDOCDOCDODCD ODOCrrrrOA设该扇形的半径为 米由题意，得米，米，在中，即 ，解得 米 答：该扇形的半径的长约【解析】为方法：米222222
7、.500300120.2?cos1201500300250030070027020()ACOHACACHCDADCDAACDACCDADCD ADAC连结，作，交于由题意，得米，米，在中，所方以：米法22211cos.21411350cos144900445()cos11445ACADCDCADAC ADRt HAOAHHAOAHOAHAOOA则在中，米，所以米 答：扇形的半径的长约为米三角学源于测量实践，解三角形是三角实际应用的一个重要方面求距离问题一般要注意：(1)选定或创建的三角形要确定；(2)利用正弦定理还是余弦定理要确定【变式练习 4】在海岸 A 处，发现北偏东 45方向、距离 A
8、处 31 海里的 B 处有一艘走私船；在 A 处北偏西 75方向、距离 A 处 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 3海里/小时的速度追截走私船同时，走私船正以 10 海里/小时的速度从 B 处向北偏东 30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？【解析】设缉私船 t 小时后在 D 处追上走私船，则有CD10 3t，BD10t.在ABC 中，AB 31，AC2，BAC120.利用余弦定理可得 BC 6.由正弦定理，sinABCACBCsinBAC 26 32 22，得ABC45，即 BC 与正北方向垂直于是CBD120.在BCD 中，由正弦定理得，sinBCDBDs
9、inCBDCD10tsin12010 3t12，得BCD30，又CDsin120 BCsin30，10 3t3 6，得 t 610.答：当缉私船沿东偏北 30的方向能最快追上走私船，最少要花的时间为 610小时测量角度问题【例5】一艘缉私艇发现在北偏东45方向，距离12 n mile的海面上有一走私船正以10 nmile/h的速度沿东偏南15方向逃窜缉私艇的速度为14 n mile/h.若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东45的方向去追求追及所需的时间和角的正弦值2221410120.141210240 cos120220sin1205 32820 sin.28145 32sin.
10、14ACxBABxBCxACBxxxxABBC如图，设、分别表示缉私艇、走私船的位置，设经过小时后在 处追上则有，所以，所以 ，则，所以追及所需的时间为 小时，【解析】测量角度问题中，首先应明确方位角的含义在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题38303045.(sin150.26cos150.972 1.1454)ABACA如图，海中小岛 周围海里内有暗礁一船正在向南航行，在 处测得小岛 在船的南偏东，航行海里后，在 处测得小岛 在船的南偏东如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险【
11、？，变式练习】sinsin3030sin30.sin15sin30sin1530sin30sin 45sin 4540.8.sin1540.838BCACABACACABCdAC 由正弦定理得，即，所以则点 到直线的距离由于，故此船不改变航向也无触礁【解析】的危险1.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若(bc)cosAacosC，则cosA _(3sinsin)cossin sin3sin cossin.3sin0cos.3BCAACBABBA【解析】由题设，结合正弦定理得，即因为，所以332.在ABC 中sin2Asin2Bsin2CsinBsinC.则 A的取值范围是 0A
12、3.【解析】由正弦定理a2b2c2bcb2c2a2bcb2c2a2bc1cosA120c2，C为直角a2b2c2，C为钝角a2b2c2.4sin()sinsincos.2212ABCABCABCABC特别提醒：求解三角形中的问题时，一定要注意 这个特殊性：，求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化5解三角形常见类型及解法在三角形ABC的六个元素(三个角A、B、C，三条边a、b、c)中要知三个(除三个角外)才能求解，常见类型及其解法见下表：已知条件应用定理一般解法一边和两角(如：a，B，C)正弦定理由ABC，求角A；由正弦定理求出b与c.在有解时只有一解已知条件
13、应用定理一般解法两边和夹角(如：a，b，C)正弦定理余弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由ABC求另一角在有解时只有一解三边(如：a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A、B；再利用ABC求出角C；在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如：a，b，A)正弦定理余弦定理由正弦定理求出角B；由ABC，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有两解、一解或无解6.应用正、余弦定理解三角形应用题的一般步骤：(1)理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)依据已知条件和求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的数学模型；(3)根据三角形已知的边角条件合理选择正、余弦定理解三角形，从而得到数学模型的解；(4)检验上述所求的解是否具有实际意义，从而最终得出实际问题的解7解三角形应用题常见的几种情况：(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步求出其他三角形中的解有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解