1、3.4第一课时 理解、证明基本不等式一、课前准备1课时目标(1)理解两个不等式的证明和区别,并会证明基本不等式.(2)理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵2. 基础预探(1)对于任意实数都有 0,当且仅当 时等号成立.(2)对于任意,都有 ,当且仅当 时等号成立.(3)我们把 叫做正数的算术平均数,把 叫正数的几何平均数.(4)对于任意正实数都有 ,当且仅当 时等号成立.(5)由知,两个正数的 不大于它们的 . (6)对于任意正实数都有 ,当且仅当 时等号成立.二、基本知识习题化1已知a、b(0,1)且ab,下列各式中最大的是()a2+b2 2b +b2已知f(x)x2(x0),则f(x)
2、有 ()A最大值为0 B最小值为0C最大值为4 D最小值为43若正数a、b满足2,则ab的最小值为_4.当时,当,取得最小值为.三、学习引领1重要不等式:如果,那么(当且仅当a=b时,取“=”号)几点说明:(1)不等式中的a、b是任意实数,它们既可以是具体的某个数,也可以是一个代数式.(2) “当且仅当”的含义是充要条件.(3)取等的条件是a=b,如果a,b不能相等,则中的等号不能成立.(4)重要不等式可变形为:, ,等.2.基本不等式(1)定义:(a0,b0)称为基本不等式,其中称 为a,b的算术平均数,称为a,b的几何平均数因而,这一基本不等式又可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几
3、何平均数(2)证明:除课本集合证明法之外,还有以下代数证明法:证法1:可以将基本不等式看作是重要不等式的推论. 由基本不等式,得 当且仅当时等号成立.即当且仅当时等号成立.证法2:当且仅当即时,取“”.证法3:要证,只要证,只要证,只要证.因为最后一个不等式成立,所以成立,当且仅当即时,取“”.证法4:对于正数有 (3)几点说明:基本不等式成立的条件是:.不等式证明中有三种重要方法:比较法(证法2)、分析法(证法3)、综合法(证法4).如果把看作是正数a、b的等差中项,看作是正数a、b的等比中项,那么该定理可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.在数学中,我们称为a、b的算术平均数
4、,称为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 上述结论可推广至3个或三个以上正数.成立的条件是不同的:前者只要求,都是实数,而后者要求,都是正数.当且仅当时,取“”的含义:一方面是当时取等号,即;另一方面是仅当时取等号,即.基本不等式是非常重要又极为有用的不等式,它与不等式的性质构成了本章的公理体系,奠定了不等式的理论基础.3. 常见结论及证明:事实上当、时,有: ,当且仅当时等号成立. .,,则四典例导析题型一 利用基本不等式比较大小例1.如果,那么的大小顺序为 .思路导析:根据式子的具体特点,我们要先把化为以为底的对数,再比较真数的大小,最后根
5、据对数的性质来判定的大小.解:.而,又因为为减函数,故.规律总结:利用基本不等式比较大小的方法(1) 对于给定的对数式进行准确地化简.(2) 比较各真数的大小是解决此类问题的关键,可借助基本不等式的性质和比较法来完成.(3) 最后再由对数函数的单调性来判断大小.变式训练1:已知且,又,则的大小关系是 .题型二 重要不等式的证明例2.求证:对于任意实数、,有,当且仅当时等号成立.思路导析:可以使用重要不等式,左右两边同时乘以2就行;或者使用作差法.证明:由基本不等式1,得, 把上述三个式子的两边分别相加,得,即,当且仅当时等号成立.另证:. 即,当且仅当时等号成立.规律总结:(1)平方和与积同时
6、存在的时候,注意不等式的巧妙应用.(2)当一边或两边是三个式子相加的或相乘的时候,常常要两两结合,再用同向不等式相加或相乘;(3)多次用基本不等式,必须保证每次用时等号都成立,最终等号才成立.变式训练2: 已知,求证:.题型三 基本不等式的证明例3. 设都正数,求证:思路导析:不等式左边可以两两运用均值不等式,得到不等式右边.证明:,当且仅当,即时取等号.规律总结:(1)所证不等式有一边或两边是三个式子相加或相乘时,通常要两两结合用基本不等式,再利用同向不等式相加或相乘的性质证明.(2)多次用基本不等式必须保证每次用时等号都能取到,最终等号才能成立. 五随堂练习1在下列函数中,当x取正数时,最
7、小值为2的是 ()Ayx Bylg xCy Dyx22x32设为实数,且,则的最小值为( ) A. 6 B. C. D.83. 设x,y为正数, 则的最小值为( )A. 6 B.9 C.12 D.154已知a0,b0,且2baba30,则ab的最大值为_5若,则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是 (写出所有正确命题的编号); ; ; ; .6已知,求证:.六课后作业1.下列不等式的证明过程正确的是( )A.若则B.若则C.若则D.若且则2若实数a、b满足0ab,且ab1,则下列四个数中最大的是()A. Ba2b2 C2ab Da3建造一个容积为18 m3,深为2 m的长方形无盖水池,如果池底
8、和池壁每m2的造价分别为200元和150元,那么水池的最低造价为_元4已知x1x2x20121,且x1,x2,x2012都是正数,则的最小值是_5已知、为正实数,且. 求证:.6已知,你能比较出4与的大小吗?3.4第一课时 理解、证明基本不等式答案一(1) 0(2) (3) (4) (5)几何平均数 算术平均数(6) 二1D解析:只需比较a2+b2与+b.由于a、b(0,1),a2a,b2b,a2+b20,b0,2 4 ,即4 2.ab4.答案:4.4解析:,当且仅当即时,取得最小值为4.四变式训练1:解析:且,即.变式训练2:, 又 由得 ,又不等式、中等号成立的条件分别为,故不能同时成立,
9、从而.变式训练3:已知,求证:变式训练3:证明:,又,五1D解析:对于A:yx2 4(当x2时取等号);对于B:x0,lg xR,ylg x2或y2(当x10或x时取等号);对于C:y2(当x211,即x0时取等号),而x0,y2;对于D:y(x1)222(当x1时取等号)2B解析:,当且仅当即 时取等号.3 B解析:x,y为正数,9,当且仅当时等号成立.4 18解析:a0,b0,2ba2,又2baba30,2ab30,即ab2300,解得3,即ab18,当且仅当2ba,即a6,b3时等号成立,则ab的最大值为18.5解析:令,排除;由,命题正确;,命题正确;,命题正确.答案为,.6证明:均大于0,当且仅当时等号成立.,当且仅当时等号成立.,当且仅当时等号成立.相加得,.六1D解析:选D.因为A,B,C不符合应用前提“正数.2B解析:ab1,ab2,2ab.由a2b222,又0ab,且ab1,a,a2b2最大35400 解析:设池底的长为x(m),则宽为(m),则水池的造价为9200150(元)因为92001501800300180036005400(元),故水池的最低造价为5400元422012解析:由题意得2222201222012.5证明:、,即(当且仅当时取等号).6.解:,证明如下:,又,故,当且仅当时取“=”.