1、考点突破夯基释疑考点一考点三考点二例 1训练1例 2训练2例 3训练3第2讲 等差数列及其前n项和概要课堂小结结束放映返回目录第2页 1判断正误(在括号内打“”或“”)(1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)数列an为等差数列的充要条件是对任意 nN*，都有2an1anan2.()(3)等差数列an的单调性是由公差 d 决定的()(4)数列an满足 an1ann，则数列an是等差数列()夯基释疑结束放映返回目录第3页 考点突破考点一 等差数列的性质及基本量的求解例 1(1)设 Sn 为等差数列an的前 n 项和，S84a3，a72，则 a9(
2、)A6B4C2D2(常规解法)：解析(1)法一 设公差为 d，则 8a128d4a18d，即 a15d，a7a16d5d6dd2，所以 a9a72d6.法二(结合性质求解)：根据等差数列的定义和性质可得，S84(a3a6)，又 S84a3，所以 a60，又 a72，所以 a84，a96.结束放映返回目录第4页 考点突破考点一 等差数列的性质及基本量的求解例 1(2)(2014浙江卷)已知等差数列an的公差 d0.设an的前 n项和为 Sn，a11，S2S336.1 求 d 及 Sn；2 求 m，k(m，kN*)的值，使得 amam1am2amk65.1 由题意知(2a1d)(3a13d)36，
3、解析(2)将 a11 代入上式解得 d2 或 d5.因为 d0，所以 d2.从而 an2n1，Snn2(nN*)2 由1 得amam1am2amk(2mk1)(k1)，所以(2mk1)(k1)65.由 m，kN*知 2mk1k11，故2mk113，k15，所以m5，k4.结束放映返回目录第5页 考点突破规律方法(1)一般地，运用等差数列性质，可以化繁为简、优化解题过程但要注意性质运用的条件，如 mnpq，则 amanapaq(m，n，p，qN*)，只有当序号之和相等、项数相同时才成立(2)在求解等差数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性在遇
4、到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷考点一 等差数列的性质及基本量的求解结束放映返回目录第6页【训练 1】(1)设数列an，bn都是等差数列，且 a125，b175，a2b2100，则 a37b37 等于()A0 B37 C100 D37（2）若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，前且所有项的和为 390，则这个数列的项数为 （）A.13 B.12 C.11 D.10(3)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S1010，S2030，则S30_解析(1)设an，bn的公差分别为 d1，d2，则(an1bn1)(anbn)(an1an
5、)(bn1bn)d1d2，anbn为等差数列，又 a1b1a2b2100，anbn为常数列，a37b37100.考点突破考点一 等差数列的性质及基本量的求解结束放映返回目录第7页【训练 1】(2)若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为 390，则这个数列的项数为()A13 B12 C11 D10解析(2)因为 a1a2a334，an2an1an146，a1a2a3an2an1an34146180，又因为 a1ana2an1a3an2，所以 3(a1an)180，从而 a1an60，所以 Snn（a1an）2n602390，即 n13.考点突破考点一 等
6、差数列的性质及基本量的求解结束放映返回目录第8页【训练 1】(3)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S1010，S2030，则S30_(3)S10，S20S10，S30S20成等差数列，2(S20S10)S10S30S20，4010S3030，S3060.答案(1)C(2)A(3)60考点突破考点一 等差数列的性质及基本量的求解结束放映返回目录第9页【例题 2】(2014梅州调研改编)若数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 an2SnSn10(n2)，a112.(1)求证：1Sn 成等差数列；(2)求数列an的通项公式考点二 等差数列的判定与证明(1)证明 当 n2 时，由 an2
7、SnSn10，得 SnSn12SnSn1，所以 1Sn 1Sn12，又 1S11a12，故1Sn 是首项为 2，公差为 2 的等差数列向仅含有相邻两项之间的关系变形考点突破结束放映返回目录第10页【例题 2】(2014梅州调研改编)若数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 an2SnSn10(n2)，a112.(1)求证：1Sn 成等差数列；(2)求数列an的通项公式考点二 等差数列的判定与证明(2)解 由(1)可得 1Sn2n，Sn 12n.当 n2 时，anSnSn1 12n12n1n1n2nn112nn1.当 n1 时，a112不适合上式故 an12，n1，12nn1，n2.考点突破结束
8、放映返回目录第11页 考点突破规律方法证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法，证明 anan1d(n2，d 为常数)；二是等差中项法，证明2an1anan2.若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法考点二 等差数列的判定与证明结束放映返回目录第12页 考点突破解析(1)设等差数列an的公差为 d，且 d0，训练 2(2015西安模拟)已知公差大于零的等差数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 a3a4117，a2a522.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足 bn Snnc，是否存在非零实数 c 使得bn为等差数列？若存在，求出 c 的值；若不
9、存在，请说明理由由等差数列的性质，得 a2a5a3a422，所以 a3，a4 是关于 x 的方程 x222x1170 的解，考点二 等差数列的判定与证明所以 a39，a413，易知 a11，d4，故通项为 an1(n1)44n3.结束放映返回目录第13页 考点突破（2）由(1)知 Snn（14n3）22n2n，训练 2(2015西安模拟)已知公差大于零的等差数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 a3a4117，a2a522.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足 bn Snnc，是否存在非零实数 c 使得bn为等差数列？若存在，求出 c 的值；若不存在，请说明理由所以 bn Snn
10、c2n2nnc.法一考点二 等差数列的判定与证明所以 b1 11c，b2 62c，b3 153c(c0)令 2b2b1b3，解得 c12.当 c12时，bn2n2nn122n，当 n2 时，bnbn12.故当 c12时，数列bn为等差数列结束放映返回目录第14页 考点突破训练 2(2015西安模拟)已知公差大于零的等差数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 a3a4117，a2a522.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足 bn Snnc，是否存在非零实数 c 使得bn为等差数列？若存在，求出 c 的值；若不存在，请说明理由法二考点二 等差数列的判定与证明由 bn Snncn（14
11、n3）2nc2nn12nc，c0，可令 c12，得到 bn2n.bn1bn2(n1)2n2(nN*)，数列bn是公差为 2 的等差数列即存在一个非零常数 c12，使数列bn也为等差数列结束放映返回目录第15页 考点突破考点三 等差数列前n项和的最值问题例 3 等差数列an的首项 a10，设其前 n 项和为 Sn，且 S5S12，则当 n 为何值时，Sn 有最大值？解析 法一深度思考 解决此类问题你首先想到的是哪种方法？在这里提醒大家：本题可用四种方法，请大家先思考.由题意知 d0，因为 Snd2n2a1d2 n，则可设 f(x)d2x2a1d2 x，如图：由 S5S12 知，抛物线的对称轴为
12、x5122172，由图可知，当 1n8 时，Sn单调递增；当 n9 时，Sn 单调递减又 nN*，所以当 n8 或 9 时，Sn 最大结束放映返回目录第16页 考点突破考点三 等差数列前n项和的最值问题例 3 等差数列an的首项 a10，设其前 n 项和为 Sn，且 S5S12，则当 n 为何值时，Sn 有最大值？法二设等差数列an的公差为 d，由 S5S12 得 5a110d12a166d，d18a10.所以 Snna1n（n1）2dna1n（n1）2(18a1)116a1(n217n)116a1n172228964 a1，因为 a10，nN*，所以当 n8 或 n9 时，Sn 有最大值结束
13、放映返回目录第17页 考点突破考点三 等差数列前n项和的最值问题例 3 等差数列an的首项 a10，设其前 n 项和为 Sn，且 S5S12，则当 n 为何值时，Sn 有最大值？法三设等差数列an的公差为 d，由法二得 d18a10.设此数列的前 n 项和最大，则an0，an10，即ana1（n1）18 a10，an1a1n18 a10，解得n9，n8，即 8n9，又 nN*，所以当 n8 或 n9 时，Sn 有最大值结束放映返回目录第18页 考点突破考点三 等差数列前n项和的最值问题例 3 等差数列an的首项 a10，设其前 n 项和为 Sn，且 S5S12，则当 n 为何值时，Sn 有最大
14、值？法四同法二得 d18a10，又 S5S12得 a6a7a8a9a10a11a120，7a90，a90，当 n8 或 9 时，Sn 有最大值，结束放映返回目录第19页 考点突破规律方法求等差数列前 n 项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)将等差数列的前 n 项和 SnAn2Bn(A、B 为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值考点三 等差数列前n项和的最值问题结束放映返回目录第20页 考点突破解析 又数列an是等差数列，因此在该数列中，前 6 项均为正数，自第 7 项起以后各项均为负数，训练 3(
15、1)等差数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a5a74，a6a82，则当 Sn 取最大值时，n 的值是()A5 B6 C7 D8(2)(2014望江中学模拟)设数列an是公差 d0 的等差数列，Sn 为前 n 项和，若 S65a110d，则 Sn 取最大值时，n 的值为()A5 B6 C5 或 6 D11(1)依题意得 2a64，2a72，a620，a710；于是当 Sn 取最大值时，n6，选 B.(2)由题意得 S66a115d5a110d，考点三 等差数列前n项和的最值问题所以 a60，故当 n5 或 6 时，Sn 最大，选 C.结束放映返回目录第21页 考点突破解析 代入求和公式得，训
16、练 3(3)已知等差数列an的首项 a120，公差 d2，则前 n 项和 Sn 的最大值为_(3)因为等差数列an的首项 a120，公差 d2，Snna1n（n1）2d20nn（n1）22n221nn21222122，考点三 等差数列前n项和的最值问题又因为 nN*，所以 n10 或 n11 时，Sn 取得最大值，最大值为 110.答案(1)B(2)C(3)110结束放映返回目录第22页 思想方法课堂小结1等差数列的判断方法(1)定义法：an1and(d 是常数)an是等差数列(2)等差中项法：2an1anan2(nN*)an是等差数列(3)通项公式：anpnq(p，q 为常数)an是等差数列
17、(4)前 n 项和公式：SnAn2Bn(A，B 为常数)an是等差数列2方程思想和化归思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为 a1 和 d 等基本量，通过建立方程(组)获得解3在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为(1)a，ad，a2d；(2)ad，a，ad；(3)ad，ad，a3d 等，可视具体情况而定结束放映返回目录第23页 易错防范课堂小结1当公差 d0 时，等差数列的通项公式是 n 的一次函数，当公差 d0 时，an 为常数2公差不为 0 的等差数列的前 n 项和公式是 n 的二次函数，且常数项为 0.若某数列的前 n 项和公式是常数项不为 0 的二次函数，则该数列不是等差数列3求等差数列的前 n 项和 Sn 的最值时，需要注意“自变量 n 为正整数”这一隐含条件若对称轴取不到，需考虑最接近对称轴的自变量 n(n 为正整数)；若对称轴对应两个正整数的中间，此时应有两个符合题意的 n 值结束放映返回目录第24页（见教辅）
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