1、用公式法求和【例1】已知an 是公差不为 0 的等差数列，a12，且 a1，a3，a7 成等比数列(1)求数列an 的通项公式；(2)求数列2ann 的前 n 项和 Sn.【解析】(1)设数列an 的公差为 d，因为 a1，a3，a7 成等比数列，所以(a12d)2a1(a16d)，解得 d1，则 ann1.(2)Sn22232n1(123n)412n12 nn124(2n1)nn122n2n2n24.本题主要是考查等差数列、等比数列的基本知识，简单的计算能力，对等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式不仅要牢记，还要保证计算的准确【变式练习1】在等比数列an中，a2a518，a3a432，
2、并且an10，故 q13.由 2a13a21 得 2a13a1q1，所以 a113.故数列an的通项公式为 an 13n.(2)bnlog3a1log3a2log3an(12n)nn12，故 1bn2nn12(1n 1n1)，1b1 1b2 1bn2(112)(1213)(1n1n1)2nn1.所以数列1bn 的前 n 项和为 2nn1.错位相减法求和【例3】求S12x3x24x3(n1)xn的值 23231231111201121123(1)2011234(1)23(1).(1)1(1)1(1)111123nnnnnnnnxSnnxSnxxSxxxnxxSxxxn xnxx Sxxxxnxx
3、nxxxSx 当 时，；当 时，；当且时，因为 ，所以 由得 ，所以【解析】111nnxx 通过观察，本题有如下特征：系数成等差数列、字母成等比数列，即它是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的数列，具备用错位相减法的条件；同时本题也有陷阱：并没有确定x是否为0或1，故容易贸然地用错位相减法求解，而需先分类讨论在求解过程中还要注意，在等比数列求和时，项数也容易搞错【变式练习3】设an为等比数列，Tnna1(n1)a22an1an，已知T11，T24.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列Tn的通项公式 1122112122123123112222.(1 2(2)22 2222(1)2(
4、2)22 22.(2222)2 122(2)1212nnnnnnnnnnnnnaqaTaTaaqaaTnnnTnnnTnnn 设等比数列的公比为，所【以 ，所以 因为 ，所以 由得 解析】分组分解法求和 23.21()22().4nnnnnnnnnnnanSaa nccncnT已知数列的前 项和 求数列的通项公式；是奇数若数列满足，是偶数求数列的前 项和【例】2221*1124113323(1)3(1)221(2)21()1()(222)14 142246(1)1412nnnnnnnnnnSnnnnaSSnnnaSannnnTaaann NN因为，所以 ，又 适合上式，所以 当 为奇数时，为偶
5、数，】【解析1212413122111111422(1)22(21)223434(21).43()(222)4 14(24)1414242 222(21)(21)22343nnnnnnnnnnnnnnTaaann nnnn 当 为偶数时，分组分解法是通过对数列通项结构的分析研究，将数列分解为若干个能够求和的新数列的和或差，从而求得原数列和的一种求和方法如本题将数列分成奇数项的和与偶数项的和，分别应用等差数列和等比数列的求和公式求解【变式练习4】求值：Sn1234(1)n1n.(12)(34)(1)21(23)(45)(1)11122()21()2nnnnnSnnnSnnnnn nSn当 为偶数
6、时，；当 为奇数时，为偶数所以 为奇数【解析】212221.21_nnnnanSaaa数列的前 项和 ，则1(41)3n 111212221221212224.11444(41)3nnnnnnnnnnnnnSaSSaaaa因为 ，所以 ，所以 所【以 】解析 12.110nnaannnn数列的通项公式为，若其前 项的和为，则 的值为_12012111(2 1)(32)(1)1 110120.nnnannnnSaaannnn因为，所以 ，所以【解析】3.1(12)(1222)(12222n1)_2n1n2 21211222122112(222)2 1222.12nnnnnnnnaSnnn 因为
7、，所以 【解析】4.求值：10029929829722212_5050 222222(10099)(9897)(21)1009998972110010015050.2 原式【解析】1101030201015.22(21)0.12.nnnnnaanSSSSanSnT 设正项等比数列的首项 ，前项和为，且求数列的通项公式；求的前 项和 10302020101010201020101010201012()2().002111.().22112211(1)122112.12212nnnnnnnnnSSSSqSSSSaSSqqaaaqnSnSn由已知得，即因为 ，所以，所以，所以 从而 因为是首项 ，公
8、比 的等比数列，故，【解析】2231211112(12)(),2221121(12)()2222221111(12)()22222211112214212112.222nnnnnnnnnnnnnnnSnnTnTnnnTnnn nnn nnT 则数列的前 项和 前两式相减，得 即 本节内容是在等差数列、等比数列等特殊数列求和的基础上，将两个(或几个)数列复合而成的数列求和，主要从四个方面考查，一是直接用等差、等比数列求和公式来求；二是拆分成等差、等比数列或其他特殊数列来求；三是倒序相加来求；四是两边乘以同一个数后，用错位相减法来求要求在熟记特殊数列求和公式的基础上，观察数列的特征，选择恰当的方法
9、，有时还会要求分类讨论1一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的数列一般用错位相减法求和其做法是：在等式两边同乘以等比数列的公比，然后两式相减，右边中间的(n1)项变成等比数列，很容易求和，同时注意第一个式子的首项和第二个式子的末项的符号，最后将左边的系数除到右边即可2在求Sx2x23x34x4(n1)xn1这类问题时要注意：(1)对x分类讨论；(2)项数是多少3裂项相消法求和是先将通项(最后一项)分裂成两项(或多项)的差，通过相加过程中，中间的项相互抵消，最后剩下有限项求和4倒序相加求和法的依据是推导等差数列前n项和的方法，即与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和(即a1ana2an1)，可采用把正着写的式子与倒过来写的两个式子相加，就得到一个常数列的和 5()(21),.()(2)nnnnnababf nnkan kNg nnk分组求和法：有一类数列，本身既不是等差数列，又不是等比数列，但若适当拆分，可以分为几个等差、等比或常见的数列，即先分别求和，再合并形如：，其中是等差数列，是等比数列；
