1、基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、选择题1.设曲线yeaxln(x1)在x0处的切线方程为2xy10,则a()A.0 B.1 C.2 D.3解析yeaxln(x1),yaeax,当x0时,ya1.曲线yeaxln(x1)在x0处的切线方程为2xy10,a12,即a3.故选D.答案D2.若f(x)2xf(1)x2,则f(0)等于()A.2 B.0 C.2 D.4解析f(x)2f(1)2x,令x1,得f(1)2,f(0)2f(1)4.答案D3.(2017杭州质测)曲线f(x)x3x3在点P处的切线平行于直线y2x1,则P点的坐标为()A.(1,3) B.(1,3)C.(1,3)和(1,3) D
2、.(1,3)解析f(x)3x21,令f(x)2,则3x212,解得x1或x1,P(1,3)或(1,3),经检验,点(1,3),(1,3)均不在直线y2x1上,故选C.答案C4.(2017石家庄调研)已知曲线yln x的切线过原点,则此切线的斜率为()A.e B.e C. D.解析yln x的定义域为(0,),且y,设切点为(x0,ln x0),则y|xx0,切线方程为yln x0(xx0),因为切线过点(0,0),所以ln x01,解得x0e,故此切线的斜率为.答案C5.(2016郑州质检)已知yf(x)是可导函数,如图,直线ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线,令g(x)xf(x),g(x
3、)是g(x)的导函数,则g(3)()A.1 B.0 C.2 D.4解析由题图可知曲线yf(x)在x3处切线的斜率等于,f(3),g(x)xf(x),g(x)f(x)xf(x),g(3)f(3)3f(3),又由题图可知f(3)1,所以g(3)130.答案B二、填空题6.(2015天津卷改编)已知函数f(x)axln x,x(0,),其中a为实数,f(x)为f(x)的导函数,若f(1)3,则a的值为_;f(x)在x1处的切线方程为_.解析f(x)aa(1ln x),由于f(1)a(1ln 1)a,又f(1)3,所以a3.f(x)3xln x,f(1)0,f(x)在x1处的切线方程为y3(x1),即
4、为3xy30.答案33xy307.(2016全国卷)已知f(x)为偶函数,当x0时,f(x)ln(x)3x,则曲线yf(x)在点(1,3)处的切线方程是_.解析设x0,则x0,f(x)ln x3x,又f(x)为偶函数,f(x)ln x3x,f(x)3,f(1)2,切线方程为y2x1.答案2xy108.(2015陕西卷)设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为_.解析yex,曲线yex在点(0,1) 处的切线的斜率k1e01,设P(m,n),y(x0)的导数为y(x0),曲线y(x0)在点P处的切线斜率k2(m0),因为两切线垂直,所以k1k21,所以m
5、1,n1,则点P的坐标为(1,1).答案(1,1)三、解答题9.(2017长沙调研)已知点M是曲线yx32x23x1上任意一点,曲线在M处的切线为l,求:(1)斜率最小的切线方程;(2)切线l的倾斜角的取值范围.解(1)yx24x3(x2)211,当x2时,y1,y,斜率最小的切线过点,斜率k1,切线方程为3x3y110.(2)由(1)得k1,tan 1,又0,),.故的取值范围为.10.已知曲线yx3.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程;(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.解(1)P(2,4)在曲线yx3上,且yx2,在点P(2,4)处的切线的斜率为y|x24.曲线在点P(2,4)
6、处的切线方程为y44(x2),即4xy40.(2)设曲线yx3与过点P(2,4)的切线相切于点A,则切线的斜率为y|xx0x.切线方程为yx(xx0),即yxxx.点P(2,4)在切线上,42xx,即x3x40,xx4x40,x(x01)4(x01)(x01)0,(x01)(x02)20,解得x01或x02,故所求的切线方程为xy20或4xy40.能力提升题组(建议用时:25分钟)11.已知f1(x)sin xcos x,fn1(x)是fn(x)的导函数,即f2(x)f1(x),f3(x)f2(x),fn1(x)fn(x),nN*,则f2 017(x)等于()A.sin xcos x B.si
7、n xcos xC.sin xcos x D.sin xcos x解析f1(x)sin xcos x,f2(x)f1(x)cos xsin x,f3(x)f2(x)sin xcos x,f4(x)f3(x)cos xsin x,f5(x)f4(x)sin xcos x,fn(x)是以4为周期的函数,f2 017(x)f1(x)sin xcos x,故选D.答案D12.已知函数f(x)g(x)x2,曲线yg(x)在点(1,g(1)处的切线方程为y2x1,则曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率为()A.4 B. C.2 D.解析f(x)g(x)2x.yg(x)在点(1,g(1)处的切线方
8、程为y2x1,g(1)2,f(1)g(1)21224,曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率为4.答案A13.(2016全国卷)若直线ykxb是曲线yln x2的切线,也是曲线yln(x1)的切线,则b_.解析yln x2的切线为:yxln x11(设切点横坐标为x1).yln(x1)的切线为:yxln(x21)(设切点横坐标为x2).解得x1,x2,bln x111ln 2.答案1ln 214.设函数f(x)ax,曲线yf(x)在点(2,f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式;(2)曲线f(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值,并求
9、此定值.解(1)方程7x4y120可化为yx3,当x2时,y.又f(x)a,于是解得故f(x)x.(2)设P(x0,y0)为曲线上任一点,由y1知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为yy0(xx0),即y(xx0).令x0,得y,从而得切线与直线x0的交点坐标为.令yx,得yx2x0,从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0).所以点P(x0,y0)处的切线与直线x0,yx所围成的三角形的面积为S|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0,yx所围成的三角形面积为定值,且此定值为6.15.如图,从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线yex于点Q1(0,1),曲线在Q1点处
10、的切线与x轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2,依次重复上述过程得到一系列点:P1,Q1;P2,Q2;Pn,Qn,记Pk点的坐标为(xk,0)(k1,2,n).(1)试求xk与xk1的关系(k2,n);(2)求|P1Q1|P2Q2|P3Q3|PnQn|.解(1)设点Pk1的坐标是(xk1,0),yex,yex,Qk1(xk1,exk1),在点Qk1(xk1,exk1)处的切线方程是yexk1exk1(xxk1),令y0,则xkxk11(k2,n).(2)x10,xkxk11,xk(k1),|PkQk|exke(k1),于是有|P1Q1|P2Q2|P3Q3|PnQn|1e1e2e(n1),即|P1Q1|P2Q2|P3Q3|PnQn|.