1、知识点一抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离_的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的_，直线l叫做抛物线的_知识点二抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px (p0)y22px (p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下规律与方法：解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要
2、注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解例1已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为()A.B3C.D.例2(2015年10月学考)设抛物线y22px(p0)的焦点为F，若F到直线yx的距离为，则p等于()A2B4C2D4例3(2016年10月学考)已知抛物线y22px过点A(1,2)，则p_，准线方程是_
3、例4已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(4，2)，则它的标准方程为_例5已知动圆M与直线y2相切，且与定圆C：x2(y3)21外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_例6已知抛物线方程为y22px(p0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A、B两点，且|AB|p，求AB所在直线的方程例7过抛物线y22x的顶点作互相垂直的两条弦OA，OB.(1)求AB的中点的轨迹方程；(2)求证：直线AB过定点一、选择题1抛物线y2x2的焦点坐标是()A(，0) B(，0)C(0，) D(0，)2已知抛物线y4x2上一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()ABCD03已知抛物线yax2的准线
4、方程是y2，则a的值为()ABC8D84从抛物线y24x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|5，设抛物线的焦点为F，则MPF的面积为()A5B10C20D.5已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|12，P为C的准线上的一点，则ABP的面积为()A18B24C36D486若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y22x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|MA|取得最小值的M的坐标为()A(0,0) B(，1)C(1，) D(2,2)7已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为x1，直线l与抛物线C相交于A，B两点若线段AB的中点为(2,1)，则直
5、线l的方程为()Ay2x3By2x5Cyx3Dyx18设抛物线C：y216x，斜率为m的直线l与C交于A，B两点，且OAOB，O为坐标原点，则直线l恒过定点()A(8,0) B(4,0)C(16,0) D(6,0)二、填空题9若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x50的距离小1，则点P的轨迹方程是_10直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点，则k_.11抛物线y2x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为_12设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足，如果直线AF的斜率为，那么|PF|_.三、解答题13已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A(x1，y1
6、)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2p2，x1x2；(2)为定值；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切答案精析知识条目排查知识点一相等焦点准线题型分类示例例1A如图，由抛物线定义知|PA|PQ|PA|PF|，则所求距离之和的最小值转化为求|PA|PF|的最小值，则当A、P、F三点共线时，|PA|PF|取得最小值又A(0,2)，F(，0)，(|PA|PF|)min|AF|.例2B由抛物线y22px(p0)的焦点为F(，0)F到直线yx的距离为，可得，解得p4，故选B.例32x1例4y22x解析由题意可知抛物线的焦点在x轴上，设方程为y22px(p0)或y2
7、2px(p0)若方程为y22px(p0)，则82p4，得p1，故方程为y22x；若方程为y22px(p0)，则82p4，得p1，不符合条件，故不成立所以抛物线的标准方程为y22x.例5x212y解析设动圆圆心M(x，y)，半径为r，根据题意可得解得x212y.例6解方法一焦点F(，0)，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，若ABOx，则|AB|2p0)的准线为x，A(x1，y1)，B(x2，y2)，设A，B到准线的距离分别为dA，dB，由抛物线的定义知，|AF|dAx1，|BF|dBx2，于是|AB|x1x2pp，x1x2p.当x1x2时，|AB|2p0)，依题意，lx轴，且焦点F(，0)，
8、当x时，|y|p，|AB|2p12，p6，又点P到直线AB的距离为p6，故SABP|AB|p12636.6D由题意得F(，0)，准线方程为x.设点M在准线x上的射影为P，则M到准线的距离为d|PM|，则由抛物线的定义得|MA|MF|MA|PM|，故当P、A、M三点共线时，|MF|MA|取得最小值为|AP|3().把y2代入抛物线y22x，得x2，故点M的坐标是(2,2)7A抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为x1，1，p2，抛物线的方程为y24x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式相减得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，直线AB的斜率k2，从而直线AB的方程为y12(x2)，即
9、y2x3.8C设直线l：xmyb(b0)，代入抛物线y216x，可得y216my16b0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y216m，y1y216b，x1x2(my1b)(my2b)b2，OAOB，x1x2y1y20，可得b216b0，b0，b16，直线l：xmy16，直线l过定点(16,0)9y216x解析点P到点F的距离与到x4的距离相等，由抛物线定义，知点P轨迹为抛物线，设y22px，由4，知p8.101或0解析由得ky28y160，若k0，则y2；若k0，则0，即6464k0，解得k1.因此若直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点，则k0或k1.11(，)解析设抛物
10、线上点的坐标为(x，)，此点到准线的距离为x，到顶点的距离为，由题意有x，x，此点坐标为(，)128解析如图所示，直线AF的方程为y(x2)，与准线方程x2联立得A(2,4)设P(x0,4)，代入抛物线y28x，得8x048，x06，|PF|x028.13证明(1)由已知得抛物线焦点坐标为(，0)由题意可设直线方程为xmy，代入y22px，得y22p(my)，即y22pmyp20.(*)因为y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2p2.因为y2px1，y2px2，所以yy4p2x1x2，所以x1x2.(2).因为x1x2，x1x2|AB|p，代入上式，得(定值)(3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|(|AC|BD|)(|AF|BF|)|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切