1、1.5.3微积分基本定理学习目标1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分知识点微积分基本定理思考1已知函数f(x)2x1，F(x)x2x，则(2x1)dx与F(1)F(0)有什么关系？答案由定积分的几何意义知，(2x1)dx(13)12，F(1)F(0)2，故(2x1)dxF(1)F(0)思考2对一个连续函数f(x)来说，是否存在惟一的F(x)，使得F(x)f(x)?答案不惟一根据导数的性质，若F(x)f(x)，则对任意实数c，都有F(x)cF(x)cf(x)梳理(1)微积分基本定理对于被积函数f(x)，如果F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)
2、，即F(x)dxF(b)F(a)(2)常见的原函数与被积函数关系cdxcx|(c为常数)xndxsinxdxcosx|.cosxdxsinx|.dxlnx|(ba0)exdxex|.axdxdx类型一求定积分例1求下列定积分(1)(2xex)dx；(2)(3cosx)dx；(3)；(4)(x3)(x4)dx.解(1)(2xex)dx(x2ex)|(1e1)(0e0)e.(2)(3cosx)dx(lnx3sinx)|(ln23sin2)(ln13sin1)ln23sin23sin1.(3)(sincos)212sincos1sinx，(cos)(0cos0)1.(4)(x3)(x4)x27x12
3、，(x3)(x4)dx(x27x12)dx(x3x212x)|(3332123)0.反思与感悟(1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得函数F(x)(2)由微积分基本定理求定积分的步骤第一步：求被积函数f(x)的一个原函数F(x)第二步：计算函数的增量F(b)F(a)跟踪训练1计算下列定积分(1)(xx2)dx；(2)；(3)(1)dx.解(1)(xx2)dx(x2x3lnx)|(2223ln2)(ln1)ln2.(2)|1.(3)(1)dx(x)dx(x2)|(92)(42).例2(1)求函数f(x)在区间0,4上的定积分；(2)求定积分|x21|dx.解(1
4、)f(x)dx(x1)dx|(x2x)|1(2)(40)7.(2)|x21|又(x)1x2，(x)x21，|x21|dx|x21|dx|x21|dx(1x2)dx(x21)dx(x)|(x)|1212.反思与感悟分段函数的定积分的求法(1)利用定积分的性质转化为各区间上定积分的和计算(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算跟踪训练2(1)f(x)求f(x)dx.解f(x)dx(12x)dxx2dx(xx2)|x3|2.(2)求|x2x|dx的值解|x2x|x2x|dx(x2x)dx(xx2)dx(x2x)dx(x3x2)|(x2x3)|(x3x2)|.类型二
5、利用定积分求参数例3(1)已知t0，f(x)2x1，若f(x)dx6，则t_.(2)已知2(kx1)dx4，则实数k的取值范围为_答案(1)3(2)，2解析(1)f(x)dx(2x1)dxt2t6，解得t3或t2，t0，t3.(2)(kx1)dxk1.由2k14，得k2.引申探究1若将本例(1)中的条件改为f(x)dxf()，求t.解由f(x)dx(2x1)dxt2t，又f()t1，t2tt1，得t1.2若将本例(1)中的条件改为f(x)dxF(t)，求F(t)的最小值解F(t)f(x)dxt2t(t)2(t0)，当t时，F(t)min.反思与感悟(1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式
6、综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念跟踪训练3(1)已知x(0,1，f(x)(12x2t)dt，则f(x)的值域是_(2)设函数f(x)ax2c(a0)若f(x)dxf(x0)，0x01，则x0的值为_答案(1)0,2)(2)解析(1)f(x)(12x2t)dt(t2xtt2)|2x2(x(0,1)f(x)的值域为0,2)(2)f(x)dx(ax2c)dxc.又f(x0)axc，ax，即x0或x0.0x01，x0.类型三求图形的面积例4求由曲线yx22
7、x3与直线yx3所围成的图形的面积解画出草图，如图所示解方程组得A(0,3)，B(3,6)所以S(x3)dx(x22x3)dx，取F(x)x23x，则F(x)x3，取H(x)x3x23x，则H(x)x22x3，从而SF(3)F(0)H(3)H(0)(3233)0(333233)0.反思与感悟利用定积分求曲线所围成的平面图形的面积的步骤(1)根据题意画出图形(2)找出范围，定出积分上、下限(3)确定被积函数(4)写出相应的定积分表达式，即把曲线梯形面积表示成若干个定积分的和或差(5)用微积分基本定理及其运算性质计算定积分，求出结果跟踪训练4求由曲线yx2，直线y2x和yx围成的图形的面积解由题意
8、，三条曲线围成的面积如图阴影所示由和解出O，A，B三点的横坐标分别是0,1,2.故所求的面积S(2xx)dx(2xx2)dx0(4)(1).1若(2x)dx3ln2，则a的值是_答案2解析(2x)dx2xdxdxx2|lnx|a21lna3ln2，解得a2.2_.答案解析.3已知f(x)ax2bxc(a0)，且f(1)2，f(0)0，f(x)dx2.求a，b，c的值解f(1)2，abc2，f(x)2axb，f(0)b0，f(x)dx(ax2c)dxac2，由可得a6，b0，c4.4已知f(x)计算：f(x)dx.解f(x)dx，取F1(x)2x22x，则F1(x)4x2；取F2(x)sinx，
9、则F2(x)cosx.所以|21，即f(x)dx21.1求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分2由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数课时作业一、填空题1(ex)dx_.答案e2eln2解析(ex)(exlnx)|(e2ln2)(eln1)e2eln2.2|x2|dx_.答案4解析|x2|x2|dx(x2)dx(x2
10、)dx4.3已知f(x)则f(x)dx的值为_答案解析f(x)dxx2dx1dx11.4若(2x3x2)dx0，则正数k的值为_答案1解析(2x3x2)dx(x2x3)|k2k30，解得k1或k0(舍去)5若函数f(x)xmnx的导函数是f(x)2x1，则f(x)dx_.答案解析f(x)mxm1n2x1，m2，n1.则f(x)x2x，f(x)dx(x2x)dx(x3x2)|.6已知f(a)(2ax2a2x)dx，则函数f(a)的最大值为_答案解析f(a)(2ax2a2x)dx(ax3a2x2)|a2a，由二次函数的性质，可得f(a)max.7若f(x)x22f(x)dx，则f(x)dx_.答案
11、解析f(x)x22f(x)dx，f(x)dx(x32xf(x)dx)|2f(x)dx，f(x)dx.8(xcosx5sinx2)dx_.答案4a解析xcosxdx0，(xcosx5sinx2)dx(5sinx2)dx(5cosx2x)|4a.9已知f(x)3x22x1，若f(x)dx2f(a)成立，则a_.答案1或解析f(x)dx(x3x2x)|4，2f(a)6a24a2，由题意，得6a24a24，解得a1或a.10设f(x)若ff(1)1，则a_.答案1解析因为x10，所以f(1)lg10.又当x0时，f(x)x3t2dtxt3|xa3，所以f(0)a3.因为ff(1)1，所以a31，解得a
12、1.11设f(x)是一次函数，且f(x)dx5，xf(x)dx，则f(x)的解析式为_答案f(x)4x3解析f(x)是一次函数，设f(x)axb(a0)，f(x)dx(axb)dxaxdxbdxab5，xf(x)dxx(axb)dx(ax2)dxbxdxab.解得f(x)4x3.12已知0，则当(cosxsinx)dx取最大值时，_.答案解析(cosxsinx)dxsincos1sin()1.0，则，当，即时，sin()1取得最大值二、解答题13求曲线yx21，直线xy3以及两坐标轴所围成的图形的面积S.解如图所示，由得或且xy3与x轴交于点(3,0)，Sf(x)dx，其中f(x)S(x21)dx(3x)dx1(9)(3).14已知函数f(x)x3ax2bx(a，bR)的图象如图所示，它与直线y0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为，求a的值解由图知方程f(x)0有三个实根，其中有两个相等的实根x1x20，于是b0，所以f(x)x2(xa)，又0(x3ax2)dx，所以a3.又a0a0，得a3.