1、把握三角函数与解三角形中的最值问题 微点聚焦突破类型一三角函数的最值角度1可化为“yAsin(x)B”型的最值问题【例11】 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，扇形AOB的半径为2，圆心角为，点M是弧AB上异于A，B的点.(1)若点C(1，0)，且CM，求点M的横坐标；(2)求MAB面积的最大值.解(1)连接OM，依题意可得，在OCM中，OC1，CM，OM2，所以cos COM，所以点M的横坐标为2.(2)设AOM，则BOM，SMABSOAMSOBMSOAB22222sin，因为，所以，所以当时，MAB的面积取得最大值，最大值为.思维升华化为yAsin(x)B的形式求最值时，特别注意自变量的
2、取值范围对最大值、最小值的影响，可通过比较区间端点的取值与最高点、最低点的取值来确定函数的最值.角度2可化为yf(sin x)(或yf(cos x)型的最值问题【例12】 函数ycos 2x2sin x的最大值为_.解析ycos 2x2sin x2sin2x2sin x1.设tsin x，则1t1，所以原函数可以化为y2t22t12，所以当t时，函数y取得最大值为.答案思维升华可化为yf(sin x)(或yf(cos x)型三角函数的最值或值域可通过换元法转化为其他函数的最值或值域.【训练1】 (1)(角度1)函数f(x)3sin x4cos x，x0，的值域为_.(2)(角度2)若函数f(x
3、)cos 2xasin x在区间上的最小值大于零，则a的取值范围是_.解析(1)f(x)3sin x4cos x55sin(x)，其中cos ，sin ，.因为0x，所以x1.答案(1)4，5(2)(1，)类型二三角形中的最值角度1转化为三角函数利用三角函数的有界性求解【例21】 (2020湖北七市联考)在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角B的大小；(2)若b2，求ac的取值范围.解(1)由已知条件，得bcos Aacos Bbsin C.由正弦定理，得sin Bcos Acos Bsin Asin Bsin C，即sin(AB)sin Bsin C.又在
4、ABC中，sin(AB)sin C0，所以sin B.因为B是锐角，所以B.(2)由正弦定理，得4，则a4sin A，c4sin C.所以ac4sin A4sin C4sin A4sin6sin A2cos A4sin.由0A，0A，得A，所以A，所以sin1，所以6ac4.故ac的取值范围为(6，4.思维升华本题涉及求边的取值范围，一般思路是利用正弦定理把边转化为角，利用三角函数的性质求出范围或最值.角度2利用基本不等式求解【例22】 (2019运城二模)已知点O是ABC的内心，BAC60，BC1，则BOC面积的最大值为_.解析点O是ABC的内心，BAC60，BOC180120，在BOC中，
5、由余弦定理得BC2OC2OB22OCOBcos 120，OC2OB21OCOB.又OC2OB22OCOB，OCOB，当且仅当OBOC时“”成立，SOBCOCOBsin 120.答案思维升华解答本题的关键是注意到三角形面积公式SABCabsin C中的ab，与余弦定理中的a2b2存在不等关系a2b22ab，利用余弦定理沟通二者，求出ab的最值即可.【训练2】 (1)(角度1)如图，在ABC中，已知B，AC4，D为BC边上一点.若AD2，SDAC2，求DC的长；若ABAD，试求ADC的周长的最大值.解SDAC2，AC4，AD2，ADACsin DAC2，sin DAC，B，DACBAC，DAC，在
6、ADC中，由余弦定理得：DC2AD2AC22ADACcos ，DC244822428，DC2.ABAD，B，ABD为正三角形，DACC，ADC，在ADC中，根据正弦定理，可得，AD8sin C，DC8sin，ADC的周长为ADDCAC8sin C8sin484848sin4，ADC，0C，C0，b0，ab4，ab2，所以ab4(当且仅当ab时取等号)，由(ab)216，得a2b2162ab，所以162abc2ab，所以16c23ab，故16c212，c24，c2，故2c4，故选B.答案B 分层限时训练A级基础巩固一、选择题1.函数ycos，x的值域是()A. B.C. D.解析x，x，所以y.
7、答案B2.如果|x|，那么函数f(x)cos2xsin x的最小值是()A. B.C.1 D.解析f(x)sin2xsin x1，当sin x时，ymin.答案D3.若函数f(x)sin(2x)cos(2x)(0)的图象关于点对称，则函数f(x)在上的最小值是()A.1 B. C. D.解析因为f(x)sin(2x)cos(2x)2sin，则由题意，知f2sin0.又0，所以，所以f(x)2sin 2x，则f(x)在上是减函数，所以函数f(x)在上的最小值为f2sin .故选B.答案B4.(2020广州一模)ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知cos Ccos A1，则cos
8、B的取值范围为()A. B.C. D.解析cos Ccos A1，由余弦定理可得1，化简可得b2ac，则cos B，当且仅当ac时，取“”.cos B1，即cos B.故选D.答案D5.(2020河南六市联考)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b4，则ABC的面积的最大值为()A.4 B.2 C.3 D.解析由得2acos Bccos Bbcos C，由正弦定理得，2sin Acos Bsin Bcos Csin Ccos B，又知sin(BC)sin Asin Bcos Ccos Bsin C，2sin Acos Bsin A，A(0，)，sin A0，cos B，又知B
9、(0，)，B，又知cos B11，ac16，当且仅当ac时等号成立，SABCacsin B16sin 164，故ABC的面积的最大值为4，故选A.答案A二、填空题6.若函数ysin2x2cos x在区间上最小值为，则的取值范围是_.解析y2(cos x1)2，当x时，y，根据函数的对称性.答案7.(2019武汉调研)当函数f(x)3sin x6cos x取得最大值时，sin x的值为_.解析f(x)3sin x6cos x3sin(x)，其中sin ，cos ，当x2k，kZ，即x2k，kZ时，f(x)取得最大值3，此时sin xsinsincos .答案8.(多填题)已知函数f(x)sin，
10、其中x.当时，f(x)的值域是_；若f(x)的值域是，则的取值范围是_.解析若x，则2x，此时sin1，即f(x)的值域是.若x，则2x2.因为当2x或2x时，sin，所以要使f(x)的值域是，则有2，即，即的取值范围是.答案三、解答题9.(2020长春模拟)设函数f(x)sin xcos xcos2xa.(1)写出函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2)当x时，函数f(x)的最大值与最小值的和为，求实数a的值.解(1)f(x)sin 2xasina，所以T.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，故函数f(x)的单调递减区间是(kZ).(2)因为x，所以2x，所以sin1.当x时，函
11、数f(x)的最大值与最小值的和为，解得a0.10.(2019河南中原名校联考)已知ABC的内角A，B，C满足.(1)求角A；(2)若ABC的外接圆半径为1，求ABC的面积S的最大值.解(1)设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.根据题意及正弦定理，可得a2b2c2bc，所以cos A.又因为0A，所以A.(2)设ABC的外接圆半径为R，则R1，由2Ra2Rsin A2sin ，所以3b2c2bc2bcbcbc，即bc3，所以Sbcsin A3(当且仅当bc时，取等号).所以ABC的面积S的最大值为.B级能力提升11.(2019成都七中月考)设锐角ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b
12、，c，且c1，A2C，则ABC周长的取值范围为()A.(0，2) B.(0，3)C.(2，3) D.(2，3解析因为ABC为锐角三角形，所以0A，0B，0C，又A2C，所以02C，0C2C，所以C，所以cos C0，sin Acos A，即tan A.0A，A.由余弦定理得a216b2c22bccos A(bc)23bc(bc)23，则(bc)264，即bc8(当且仅当bc4时等号成立)，ABC的周长abc4bc12，即最大值为12.答案1214.如图，在平面四边形ABCD中，A，E在边AB上，BE3，AECE，DECE，BEC的面积为，记BEC.(1)若，求线段BC的长度；(2)当为何值时，
13、线段DE的长度最小？求出该最小值.解(1)当时，SBECBECEsin 3CE，解得CE2.在BEC中，由余弦定理，得BC2BE2CE22BECEcos 942327，BC.(2)在AED中，A，AED，ADE.由正弦定理可知，故DE.SBECBECEsin ，CE.又AECE，DE.0，2，sin1.故当2，即时，线段DE的长度最小，最小值为6(2).C级创新猜想15.(多选题)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题正确的是()A.若a3b3c3，则Cc2，则CC.若2ab(ab)c，则CD.若(a2b2)c22a2b2，则Ca3b3，所以A正确；对于B，由abc2得cos C，所以C(ab)c，利用余弦定理得C，故C不正确；对于D，因为2abc2(a2b2)c22a2b2，所以有c2，所以C，故D正确.答案AD