1、学习目标1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题知识点生活中的优化问题(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题(2)利用导数解决优化问题的实质是求函数最值(3)解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程类型一平面几何中的最值问题例1如图所示，在二次函数f(x)4xx2的图象与x轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值解设点B的坐标为(x,0)，且0x2，f(x)4xx2图象的对称轴为x2，点C的坐标为(4x,0)，|BC|42x，|BA|f(x)4xx2.矩形面积
2、为y(42x)(4xx2)16x12x22x3，y1624x6x22(3x212x8)，令y0，解得x2，0x2，x2.当0x0，函数递增；当2x2时，y0r0，得2r；令y0，得0r2.所以当r2米时，该容器的建造费用最小，为96千元，此时l米引申探究例2中，若r(0,1，求最小建造费用解由例2(2)可知，y8r2在(0,1上单调递减，当r1时，ymin136.最小建造费用为136千元反思与感悟(1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际相关的问题(2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，
3、将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程跟踪训练2周长为20cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为_cm3.答案解析设矩形的长为xcm，则宽为(10x) cm (0x0，当x(，10)时，V(x)0，当x时，V(x)maxcm3.类型三实际生活中的最值问题命题角度1利润最大问题例3已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)(1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最
4、大，并求出最大值解(1)当010时，WxR(x)(102.7x)982.7x.所以W(2)当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元反思与感悟解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有(1)利润收入成本(2)利润每件产品的利润销售件数跟踪训练3某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x
5、的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解(1)因为当x5时，y11，所以1011，所以a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y10(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)(x3)10(x6)2210(x3)(x6)2,3x6.从而f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)极大值42由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点所以当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所
6、获得的利润最大命题角度2费用(用材)最省问题例4已知A、B两地相距200km，一只船从A地逆水行驶到B地，水速为8km/h，船在静水中的速度为vkm/h(80)，则y1kv2，当v12时，y1720，720k122，得k5.设全程燃料费为y，由题意，得yy1，y.令y0，得v16，当v016，即v16km/h时，全程燃料费最省，ymin32000(元)；当v016，即v(8，v0时，y0，即y在(8，v0上为减函数，当vv0时，ymin(元)综上，当v016时，即v16km/h时全程燃料费最省，为32000元；当v016，即vv0时全程燃料费最省，为元反思与感悟(1)用料最省、成本最低问题是日
7、常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f(x)0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值跟踪训练4为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设f(x)为隔热层建造费用与20
8、年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值解(1)设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)，再由C(0)8，得k40，因此C(x)，而建造费用为C1(x)6x.因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)20C(x)C1(x)206x6x(0x10)(2)f(x)6.令f(x)0，即6，解得x5，x(舍去)当0x5时，f(x)0；当5x0，故当x5时，f(x)取到最小值，对应的最小值为f(5)6570.答当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元1方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，
9、它的高为()A4B6C4.5D8答案A解析设底面边长为x，高为h，则V(x)x2h256，h.S(x)x24xhx24xx2，S(x)2x.令S(x)0，解得x8，判断知当x8时，S(x)取得最小值h4.2某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数，y117x2；生产总成本y2(万元)也是x的函数，y22x3x2(x0)，为使利润最大，应生产()A9千台B8千台C6千台D3千台答案C解析构造利润函数yy1y218x22x3(x0)，y36x6x2，由y0，得x6(x0舍去)，x6是函数y在(0，)上唯一的极大值点，也是最大值点3将一段长100cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成
10、圆形，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为_cm.答案解析设弯成圆形的一段铁丝长为x，则另一段长为100x.设正方形与圆形的面积之和为S，则正方形的边长a，圆的半径r.故S()2()2(0x0)，S(x34V)令S0，得x.3如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为()A.3B.3C.3D.3答案A解析设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r2hl，h.Vr2hr22r3，则Vlr6r2.令V0，得r0或r，而r0，r是其唯一的极值点当r时，V取得最大值，最大值为3.4用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接成水箱
11、，则水箱最大容积为()A120000cm3B128000cm3C150000cm3D158000cm3答案B解析设水箱底边长为xcm，则水箱高h60(cm)水箱容积V(x)x2h60x2 (0x0)要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x应为_答案d解析设断面高为h，则h2d2x2.设横梁的强度函数为f(x)，则f(x)kxh2kx(d2x2)，0xd.令f(x)k(d23x2)0，解得xd(舍去负值)当0x0，f(x)单调递增；当dxd时，f(x)0，f(x)单调递减所以函数f(x)在定义域(0，d)内只有一个极大值点xd.所以当xd时，f(x)有最大值8某箱子的容积与底面边长x的关
12、系为V(x)x2 (0x0，右侧L(p)0，所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值10统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为yx3x8，x(0,120，且甲、乙两地相距100千米，则当汽车以_千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最少答案80解析当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为y升，依题意得，y(x3x8)x2(0x120)则y(0x120)令y0，得x80，当x(0,80)时，y0，该函数递增，所以当x80时，y取得最小值11某厂生产某种产品x件的总成本为c
13、(x)1200x3(万元)，已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为_件时总利润最大答案25解析由题意知502，解得k25104.产品的单价P.总利润L(x)x1200x35001200x3，L(x)250xx2，令L(x)0，得x25，当x25时，总利润最大三、解答题12一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比已知速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和最少？解设速度为每小时v千米时，燃料费是每小时p元，那么由题设知pkv3，因为v10，p6，所以k0.00
14、6.于是有p0.006v3.又设船的速度为每小时v千米时，行驶1千米所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是(0.006v396)元，而行驶1千米所用时间为小时，所以行驶1千米的总费用为q(0.006v396)0.006v2.q0.012v(v38000)，令q0，解得v20.当v20时，q20时，q0，所以当v20时，q取得最小值即当速度为20千米/小时时，航行1千米所需的费用总和最少13用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解设长方体的宽为xm，则长为2xm，高为h(4.53x) m(0x
15、)故长方体的体积为V(x)2x2(4.53x)(9x26x3) m3(0x)从而V(x)18x18x218x(1x)令V(x)0，解得x0(舍去)或x1，因此x1.当0x0；当1x时，V(x)0，得520，即0x，由y0，得52，即当x时，函数取得极大值同时也是最大值，此时y(10).15某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x(0x0，f(x)是增函数；当x(，1)时，f(x)0，f(x)是减函数所以当x时，f(x)取极大值，f()20000.因为f(x)在(0,1)内只有一个极大值，所以它是最大值所以当x时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元
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