1、第二章23直线、平面垂直的判定及其性质231直线与平面垂直的判定课时分层训练1直线l与平面内的两条直线都垂直，则直线l与平面的位置关系是()A平行B垂直C在平面内 D无法确定解析：选D当平面内的两条直线相交时，直线l平面，即l与相交，当面内的两直线平行时，l或l或l与斜交2下列说法中正确的个数是()若直线l与平面内的一条直线垂直，则l；若直线l与平面内的两条相交直线垂直，则l；若直线l与平面内的任意一条直线垂直，则l.A3 B2C1 D0解析：选B对于不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，也可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的，是正确的3如图所示，如果MC菱形ABCD所在平面，那么
2、MA与BD的位置关系是()A平行 B垂直相交C垂直但不相交 D相交但不垂直解析：选C连接AC，因为ABCD是菱形，所以BDAC.又MC平面ABCD，则BDMC.因为ACMCC，所以BD平面AMC.又MA平面AMC，所以MABD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交4在ABC中，ABAC5，BC6，PA平面ABC，PA8，则P到BC的距离是()A. B2C3 D4解析：选D取BC中点为D，连接AD.ABAC5，BC6.ADBC，AD4，PA平面ABC，PABC.ADBCD，BC平面PAD，BCPD，PD的长即为P到BC的距离，PA8，AD4，PD4.5正方体A
3、BCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为()A. B.C. D.解析：选D如图，设正方体的棱长为1，上、下底面的中心分别为O1，O，则OO1BB1，O1O与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角，即O1OD1，cosO1OD1.6在三棱锥VABC中，当三条侧棱VA，VB，VC之间满足条件_时，有VCAB.(注：填上你认为正确的一种条件即可)解析：只要VC平面VAB，即有VCAB；故只要VCVA，VCVB即可答案：VCVA，VCVB(答案不唯一，只要能保证VCAB即可)7如图，BCA90，PC平面ABC，则在ABC，PAC的边所在的直线中：(1)与PC垂直的
4、直线有_；(2)与AP垂直的直线有_解析：(1)PC平面ABC，AB，AC，BC平面ABC.PCAB，PCAC，PCBC.(2)BCA90即BCAC，又BCPC，ACPCC，BC平面PAC，BCAP.答案：(1)AB，AC，BC(2)BC8.正方体ABCDA1B1C1D1中，面对角线A1B与对角面BB1D1D所成的角为_解析：连接A1C1，交B1D1于E，则A1C1B1D1，即A1EB1D1.又DD1A1C1，即DD1A1E，A1E平面BB1D1D.连接BE，则A1BE是A1B与对角面BB1D1D所成的角在RtA1BE中，A1EA1B，A1BE30，即A1B与对角面BB1D1D所成的角为30.
5、答案：309如图所示，在直角BMC中，BCM90，MBC60，BM5，MA3且MAAC，AB4，求MC与平面ABC所成角的正弦值解：因为BM5，MA3，AB4，所以AB2AM2BM2，所以MAAB.又因为MAAC，AB，AC平面ABC，且ABACA，所以MA平面ABC，所以MCA即为MC与平面ABC所成的角又因为MBC60，所以MC，所以sinMCA.10如图所示，在锥体PABCD中，ABCD是菱形，且DAB60，PAPD，E，F分别是BC，PC的中点证明：AD平面DEF.证明：取AD的中点G，连接PG，BG.PAPD，ADPG.设菱形ABCD边长为1.在ABG中，GAB60，AG，AB1，A
6、GB90，即ADGB.又PGGBG，AD平面PGB，从而ADPB.E，F分别是BC，PC的中点，EFPB，从而ADEF.又DEGB，ADGB，ADDE，DEEFE，AD平面DEF.1在正方体ABCDA1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是()A平面DD1C1C B平面A1DB1C平面A1B1C1D1 D平面A1DB答案：B2下面四个命题：过一点和一条直线垂直的直线有且只有一条；过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条；过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个；过一点和一个平面垂直的平面有且只有一个其中正确的是()A BC D解析：选B过一点和一条直线垂直的直线有无数条，故不正确；过一点和一个平面垂
7、直的平面有无数个，故不正确；易知均正确故选B.3设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是()A若lm，m，则lB若l，lm，则mC若l，m，则lmD若l，m，则lm解析：选B根据两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面，知选项B正确4如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是()AACSBBAB平面SCDCSA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角DAB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析：选D选项A正确，SD底面ABCD，AC平面ABCD，ACSD，又由ABCD为正方形，ACBD，又BDSDD，AC平
8、面SBDACSB；选项B正确，ABCD，CD平面SCD，ABSCD，AB平面SCD；选项C正确，设ACBDO，连接SO，则SA与平面SBD所成的角就是ASO，SC与平面SBD所成的角就是CSO，易知这两个角相等；选项D错误，AB与SC所成的角等于SCD，面DC与SA所成的角是SAB，这两个角不相等5如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为_解析：连接EB，由BB1平面ABCD，知FEB即直线EF与平面ABCD所成的角在RtFBE中，BF1，BE，则tan FEB.答案：6如图所示，在正方体ABCDA1B1C1
9、D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若B1MN是直角，则C1MN_.解析：B1C1平面ABB1A1，MN平面ABB1A1，B1C1MN.又MNB1M，B1MB1C1B1，MN平面C1B1M，MNC1M，即C1MN90.答案：907如图所示，将平面四边形ABCD沿对角线AC折成空间四边形，当平面四边形ABCD满足_时，空间四边形中的两条对角线互相垂直(填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能情况)解析：在平面四边形中，设AC与BD交于E，假设ACBD，则ACDE，ACBE.折叠后，AC与DE，AC与BE依然垂直，所以AC平面BDE，所以ACBD.若四边形ABCD为菱形或正方形，因为它
10、们的对角线互相垂直，同上可证ACBD.答案：ACBD(或四边形ABCD为菱形、正方形等)8如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABACAA1.(1)求证：AB1平面A1BC1；(2)若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值解：(1)证明：由题意知四边形AA1B1B是正方形，AB1BA1.由AA1平面A1B1C1得AA1A1C1.又A1C1A1B1，AA1A1B1A1，A1C1平面AA1B1B，又AB1平面AA1B1B，A1C1AB1.又BA1A1C1A1，AB1平面A1BC1.(2)连接A1D.设ABACAA11，AA1平面A1B1C1，A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角在等腰直角三角形A1B1C1中，D为斜边的中点，A1DB1C1.在RtA1DA中，AD.sinA1DA，即AD与平面A1B1C1所成角的正弦值为.