1、第二课时直线与椭圆的位置关系考点一直线与椭圆的位置关系【例1】 已知直线l：y2xm，椭圆C：1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点.解将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组将代入，整理得9x28mx2m240.方程根的判别式(8m)249(2m24)8m2144.(1)当0，即3m3时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点.(2)当0，即m3时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且
2、只有一个公共点.(3)当0，即m3时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点.规律方法研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.【训练1】 (一题多解)若直线ykx1与椭圆1总有公共点，则m的取值范围是()A.m1 B.m0C.0m5且m1 D.m1且m5解析法一由于直线ykx1恒过点(0，1)，所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，则00且m5，m15k2恒成立，m1且m5.答案D考点二中点弦及弦长问题多维探究角度
3、1中点弦问题【例21】 (一题多解)已知P(1，1)为椭圆1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为_.解析法一易知此弦所在直线的斜率存在，设其方程为y1k(x1)，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2).由消去y得，(2k21)x24k(k1)x2(k22k1)0，x1x2，又x1x22，2，解得k.经检验，k满足题意.故此弦所在的直线方程为y1(x1)，即x2y30.法二易知此弦所在直线的斜率存在，设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1，得0，x1x22，y1y22，y1y2
4、0，k.经检验，k满足题意.此弦所在的直线方程为y1(x1)，即x2y30.答案x2y30规律方法弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立、消元，利用根与系数关系表示中点；(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率.角度2弦长问题【例22】 (2020黄山一模)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e，点P是椭圆上的一个动点，PF1F2面积的最大值是4.(1)求椭圆的方程；(2)若A，B，C，D是椭圆上不重合的四点，AC与BD相交于点F1，0，且|，求此时直线AC的方程.解(1)由题意知，当点P是椭圆上(或下)顶点时，PF1F2的面积取
5、得最大值.此时，SPF1F22cb4，又e，a2b2c2，解得a4，b2，故所求椭圆的方程为1.(2)由(1)知F1(2，0)，由0得ACBD.当直线AC与BD中有一条直线的斜率不存在时，|14，不合题意.当直线AC的斜率存在且为k(k不为0)时，其方程为yk(x2).由消去y得(34k2)x216k2x16k2480.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.所以|x1x2|.直线BD的方程为y(x2)，同理可得|.由|，解得k21，则k1.故所求直线AC的方程为xy20或xy20.规律方法弦长问题的求解方法有：(1)求出两交点坐标，用两点间距离公式求解；(2)用弦长公式：
6、|AB|x1x2|或|AB|y1y2|(k0)求解，其中k为直线AB的斜率，A(x1，y1)，B(x2，y2).注意两种特殊情况：(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；(2)直线过圆锥曲线的焦点.【训练2】 (1)(角度1)(2019长春二检)椭圆4x29y2144内有一点P(3，2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为()A. B. C. D.(2)(角度2)(一题多解)已知斜率为2的直线经过椭圆1的右焦点F，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为_.解析(1)设以P为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为k，则4x9y144，4x9y144，两式相减得4(
7、x1x2)(x1x2)9(y1y2)(y1y2)0，又x1x26，y1y24，k，代入解得k.(2)法一由题意知，椭圆的右焦点F的坐标为(1，0)，直线AB的方程为y2(x1)，由消去y，得3x25x0，故得A(0，2)，B，则|AB|.法二由题意知，椭圆的右焦点F的坐标为(1，0)，直线AB的方程为y2(x1)，由消去y得3x25x0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x20，则|AB|.答案(1)A(2)考点三直线与椭圆的综合问题【例3】 (2019全国卷)已知点A(2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的
8、方程，并说明C是什么曲线.(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PEx轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.证明：PQG是直角三角形；求PQG面积的最大值.(1)解由题设得，化简得1(|x|2)，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左、右顶点.(2)证明设直线PQ的斜率为k，则其方程为ykx(k0).由得x.设u，则P(u，uk)，Q(u，uk)，E(u，0).于是直线QG的斜率为，方程为y(xu).由得(2k2)x22uk2xk2u280.设G(xG，yG)，则u和xG是方程的解，故xG，由此得yG.从而直线PG的斜率为.所以PQPG，即PQG是直角三角形.解
9、由得|PQ|2u，|PG|，所以PQG的面积S|PQ|PG|.设tk，则由k0得t2，当且仅当k1时取等号.因为S在2，)单调递减，所以当t2，即k1时，S取得最大值，最大值为.因此，PQG面积的最大值为.规律方法最值与范围问题的解题思路1.构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解.2.构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解.在解题过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等.【训练3】 (2020长沙质检)已知P点坐标为(0，2)，点A，B分别为椭圆E：1(ab0)的左、右顶点，直线BP交E于点Q，ABP是等腰直角三角形，且.(1)求椭圆E的方程；(2)设
10、过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围.解(1)由ABP是等腰直角三角形，得a2，B(2，0).设Q(x0，y0)，则由，得代入椭圆方程得b21，所以椭圆E的方程为y21.(2)依题意得，直线l的斜率存在，方程设为ykx2.联立消去y并整理得(14k2)x216kx120.(*)因直线l与E有两个交点，即方程(*)有不等的两实根，故(16k)248(14k2)0，解得k2.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由根与系数的关系得因坐标原点O位于以MN为直径的圆外，所以0，即x1x2y1y20，又由x1x2y1y2x1x2(kx12)(
11、kx22)(1k2)x1x22k(x1x2)4(1k2)2k40，解得k24，综上可得k24，则k2或2kb0)，则c1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，且|AB|3，所以，b2a2c2，所以a24，b2a2c2413，椭圆的方程为1.答案C3.(2019郑州模拟)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若AF1B的周长为12，则C的方程为()A.y21 B.1C.1 D.1解析由题意可得，4a12，解得a3，c2，则b，所以椭圆C的方程为1.答案D4.已知椭圆1(ab0)的一条弦所在的直线方程是xy50，弦的中点坐标是
12、M(4，1)，则椭圆的离心率是()A. B. C. D.解析设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知yMxM，代入k1，M(4，1)，解得，e，故选C.答案C5.(2020皖北名校联考)斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()A. B. C. D.解析设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线的方程为yxm，由消去y得5x28mx4(m21)0，则x1x2，x1x2.|AB|x1x2|，当m0时，|AB|取得最大值，故选B.答案B二、填空题6.已知椭圆C：1(ab0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三
13、等分，则此椭圆的标准方程为_.解析椭圆长轴长为6，即2a6，得a3，两焦点恰好将长轴三等分，2c2a2，得c1，因此，b2a2c2918，所以此椭圆的标准方程为1.答案17.(2019成都诊断)已知椭圆1(ab0)的左、右顶点分别为A，B，上顶点为C，若ABC是底角为30的等腰三角形，则_.解析由题意知CAB30，tan 30，.答案8.(2020衡水调研)与椭圆y21有相同的焦点且与直线l：xy30相切的椭圆的离心率为_.解析因为所求椭圆与椭圆y21有相同的焦点，所以可设所求椭圆的方程为1(a1)，联立方程组(2a21)x26a2x10a2a40，因为直线l与椭圆相切，所以36a44(2a2
14、1)(10a2a4)0，化简得a46a250，即a25或a21(舍).则a.又c1，所以e.答案三、解答题9.已知椭圆y21.(1)过A(2，1)的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；(2)求过点P且被P点平分的弦所在直线的方程.解(1)设弦的端点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中点是M(x，y)，则x2x12x，y2y12y，由于点P，Q在椭圆上，则有：得，所以，化简得x22x2y22y0(包含在椭圆y21内部的部分).(2)由(1)可得弦所在直线的斜率为k，因此所求直线方程是y，化简得2x4y30.10.(2019全国卷)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，
15、P为C上的点，O为坐标原点.(1)若POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1PF2，且F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围.解(1)连接PF1.由POF2为等边三角形可知在F1PF2中，F1PF290，|PF2|c，|PF1|c，于是2a|PF1|PF2|(1)c，故C的离心率为e1.(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当|y|2c16，1，1，即c|y|16，x2y2c2，1.由及a2b2c2得y2.又由知y2，故b4.由及a2b2c2得x2(c2b2)，所以c2b2，从而a2b2c22b232，故a4.当b4，a4时，存在满足条件的点P
16、.所以b4，a的取值范围为4，).B级能力提升11.已知P(x0，y0)是椭圆C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若0，则x0的取值范围是()A. B.C. D.解析由题意可知F1(，0)，F2(，0)，则(x0)(x0)yxy30.因为点P在椭圆上，所以y1.所以x30，解得x0b0)的左、右焦点，点P是椭圆上位于第二象限内的点，延长PF1交椭圆于点Q，若PF2PQ，且|PF2|PQ|，则椭圆的离心率为_.解析连接F2Q，由已知PF2PQ，且|PF2|PQ|，得F2PQ是等腰直角三角形，设|PF2|m，|QF2|n，由椭圆的定义得|PF1|2am，|QF1|2an，则有2am2an
17、m，且nm，m2(2)a.在RtF1PF2中，由勾股定理得，m2(2am)24c2，即2(2)a22a2(2)a24c2，4(64)a2(128)a24c2，即(96)a2c2，从而e296，又知0eb0)过点P(2，1)，且离心率e.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点，求PAB的面积的最大值.解(1)因为e2，所以a24b2.又椭圆C：1(ab0)过点P(2，1)，所以1.所以a28，b22.故所求椭圆方程为1.(2)设l的方程为yxm，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y整理，得x22mx2m240.所以x1x22m，x1x22m24.又
18、直线l与椭圆相交，所以4m28m2160，解得|m|b0)长轴的端点分别为A，B.点C为椭圆上异于A，B的一点，若将ABC的三内角记为A，B，C，且满足3tan A3tan Btan C0，则tan Atan B的值为_，椭圆的离心率为_.解析法一3tan A3tan Btan C0，3tan(AB)(1tan Atan B)tan C0，3tan C(1tan Atan B)tan C0.tan C0，tan Atan B.设C(x，y)，A(a，0)，B(a，0)，则1.tan Atan B，e.法二设点C(0，b)，则有tan Atan B，由ABC得，tan Ctan(AB)，又知3tan A3tan Btan C0，所以tan C3(tan Atan B)，因此可得，即6(b2a2)2a2，3b22a2，即tan Atan B，该椭圆的离心率e.答案
