1、第十九章导数及其应用19.1函数的极限基础练习1判断下列函数的极限是否存在，并说明理由：（1）（2）（3）解：（1）（3）（理由说明略）2根据函数极限的定义，求下列函数的极限：（1）（2）解：（1）（2）3求下列函数的极限：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）解：（2）不存在（3）（4）（5）（6）（7）（8）能力提高4设正数满足，求解：5把展开成关于的多项式，其各项系数和为，求解：令，得到各项系数和：则6若，求的值解：，则，得出，7设为多项式，且，求的表达式解：，则的表达式为8已知函数，试确定常数，使存在解：，则9设函数，当取什么值时，存在？解：，当时，存在19.2 两个重要极限
2、1求下列函数的极限：（1）（2）（3）（4）解：（1）（2）（3）（4）2证明证明：，3证明证明：令，则，当时，19.3 函数的连续性1试判断下列函数在给定点处是连续？并说明理由（1），在处（2），在处；（3），点解：（1）左、右极限都存在，但不相等，在处不连续（2）左极限都存在，右极限不存在，在处不连续（3），所以函数在处不连续2求下列函数的极限：（1）（2）（3）（4）解：（1）（2）（3），则（4），则3求函数在处的极限：（1）（2）（3），（4）（5）（6）解：（1），则极限为（2）极限为（3）极限为（4）极限为（5）极限为（6）不存在，则极限不存在4求下列函数的极限：（1）（2）（3
3、）（4）（5）（6）解：（1）（2）（3）（4）（5），则（6）能力提高5求的值解：，6研究函数的连续性解：当时，；当时，；当时，则，由于，则不存在；又，则不存在则在处不连续，在定义域内的其余点都连续，即在区间、（-1，1）和（1，）上分别连续7讨论上黎曼函数的连续性证明：设为无理数，任给（不妨设），满足正数显然只有有限个（但至少有一个，如），从而使的有理数只有有限个（至少有一个，如），设为，取，（显然）则对任何，当为有理数时有，当为无理数时于是，对任何，总有，这就证明了在无理点处连续现设为（0，1）内任一有理数，取，对任何正数（无论多少小），在内总可取无理数，使得，所以在任何有理点处都不连续
4、19.4 导数的概念与运算1求下列函数的导数：（1）（2）（3）（4）解：（1）（2）（3）（4）2求下列函数的导数：（1）（2）（3）（4）解：（1），（2）（3），（4）3求下列函数的导数：（1）（2）（3）（4）解：（1）（2）（3）（4）能力提高4如图19-5，函数的图像是折线段，其中的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则_；函数在处的导数_解：，5若，求解：6求下列函数的导数：（1）（2）（3）（4）（5）（6）解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）7已知函数是可导的周期函数，试救证其导函数也为周期函数证明：8若可导函数是奇函数，求证：其导函数是偶函数证明：函数是奇函数
5、，所以，所以导函数是偶函数，显然得证19.5 导数的应用基础练习1（1）曲线在点（1，-1）处的切线方程为_（2）过曲线上点且与过点的切线夹角最大的直线的方程为_（3）曲线在点处切线的斜率为_（4）函数的曲线上点处的切线与直线的夹角为，则点的坐标为_（5）曲线与在交点处的切线夹角是_解：（1），则切线方程为（2），则夹角最大为，所以过曲线上点且与过点的切线夹角最大的直线的斜率为，则直线方程为：（3）（4）设切线的斜率为，因为，所以点的坐标为或（5），则夹角是2（1）设函数的图像与轴交点为点，且曲线在点处的切线方程为若函数在处取得极值0，试确定函数的解析式（2）若函数在区间内恒有，则求函数的上的
6、最小值（3）求曲线的极值点解：（1）令，则，则，解得：，则函数的解析式为（2）函数在区间内恒有，所以在区间单调递减，因此函数在上的最小值为（3），因此在时有极小值3求下列函数的单调区间：（1）（2）（3）（4）解：（1），单调递增区间为和，单调递减区间为（2），单调递增区间为（-1，1），单调递减区间为（3），单调递增区间为，单调递减区间为（4），单调递增区间为，单调递减区间为4求下列函数的极值或最值：（1）（2），（3）（4）解：（1），单调递增区间为和，单调递减区间为（-1，3），当时取到极大值，当时取到极小值（2），单调递增区间为和，单调递减区间为，当时取到极大值，当时取到极小值当时取到
7、最小值，当时取到最大值；（3），单调递增区间为，单调递减区间为，当时取到极小值（4），单调递增区间为，单调递减区间为，当时取到极小值5当时，证明下列不等式成立：（1）（2）证明：（1）令，所以在区间上单调递增，则，则，显然得证（2）令，,，则在区间上单调递减，所以，则在区间上单调递增，所以，则在区间上单调递增，所以，则在区间上单调递增，所以，即得证6设（为自然对数的底，为常数且，），则何时取得极小值？解：，当时，时，取得极小值；当时，时，取得极小值7求抛物线上与点距离最近的点解：任取抛物线上一点，则，则在单调递减，单调递增，则抛物线上与点距离最近的点是（2，2）能力提高8已知函数在处取得极值（
8、1）讨论和是函数的极大值还是极小值（2）过点作曲线的切线，求此切线方程解：（1）函数在处取得极值的解为，则，则是极大值，是极小值（2）设切点为，则切线方程为过点，则，则切点为，则切线方程为9设函数在处取得极值，且曲线在点处的切线垂直于直线（1）求的值（2）若函数，讨论的单调性解：（1）因，故；又在处取得极限值，故，从而由曲线在处的切线与直线相互垂直可知：该切线斜率为2，即，有，从而（2）由（1）知，令，有当，即当时，在上恒成立，故函数在上为增函数当，即当时，时，在上为增函数，即当时，方程有两个不相等实根，当是，故在上为增函数，当时，故在上为减函数，10已知函数，且（1）试用含的代数式表示（2）
9、求的单调区间（3）令，设函数在处取得极值，记点，证明：线段与曲线存在异于的公共点解：（1）依题意，得，由得（2）由（1）得，故，令，则或当时，当变化时，与的变化情况如下表：+-+单调递增单调递减单调递增由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为由时，此时，恒成立，且仅在处，故函数的单调区间为当时，同理可得函数的单调增区间为和，单调减区间为综上：当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为；当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为（3）当时，得，由，得，由（2）得的单调增区间为和，单调减区间为（-1，3），所以函数在，处取得极值故，所以直线的方程为由，得令，易得，而的图像在
10、（0，2）内是一条连续不断的曲线，故在（0，2）内存在零点，这表明线段与曲线有异于，的公共点11设定义在上的函数，当时，取得极大值，并且函数的图像关于轴对称（1）求的表达式（2）试在函数的图像上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间-1，1上（3）求证：解：（1）由于为偶函数，则，则，则对一切恒成立，则，则，又当时，取得极大值，则，解得，则，（2）设所求两点的横坐标为，则，又由于，则，则，中有一个为，一个为-1，则或，则所求的两点为（0，0）与或（0，0）与（3）证明：易知，当时，；当时，则在为减函数，在上为增函数，又，而在上为奇函数，则在上最大值为，最小值为，即，则，则12已知函数，（1）若，试求函数的值域（2）若，求证：（3）若，猜想与的大小关系（不必写出比较过程）解：（1）当时，则为增函数又在区间上连续，所以，求得，即的值域为（2）设即，由于，则，由，得，则当时，为减函数，当时，为增函数由于在区间上连续，则为的最小值对有，因而（3）在题设条件下，当为偶数时，当为奇数时，
