1、成都树德中学高2011级第三学期期中数学试题（理科）命题人：杨世卿 审题人：陈杰一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题仅有一个正确答案。1以下角：异面直线所成角；直线和平面所成角；二面角的平面角； 空间中，两向量的夹角，可能为钝角的有 （ ） A1个 B2个 C3个 D4个2. 一种冰激凌机的模型上半部分是半球，下半部分是圆锥，其三视图 如图所示，则该型号蛋糕的表面积是（ ）A B C D3. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是()A. B1 C1 D24.已知两不同直线与三不同平面，下列条件能推出的是（
2、 ）A且 B ，C 且 D, 5.下面四个说法中，正确的个数为（ ） 相交于同一点的三条直线在同一平面内； 在平面外，其三边延长线分别和交于,则一定共线； 一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线，则这两角相等；在三维空间中，三个平面最多把空间分成八部分。A1 B2 C3D46. 在正三棱柱(底面是正三角形，侧棱和底面垂直)中，,则异面直线与成角的大小为（ ） A60B90 C105 D757. 如图，空间四边形四边相等，顺次连接各边中点,则四边形 一定是（ ）A菱形 B正方形 C矩形D空间四边形8空间作用在同一点的三个力两两夹角为，大小分别为 ，设它们的合力为，则（ ）A，且与夹
3、角余弦为 B，且与夹角余弦为 C ，且与夹角余弦为 D，且与夹角余弦为 9异面直线所成角为，直线，且也与异面，则直线与所成的角的范围为 （ ）A B C D10. 有一个长方体容器,装的水占恰好占其容积的一半；表示水平的桌面,容器一边紧贴桌面，沿将其翻转使之略微倾斜，最后水面(阴影部分)与其各侧棱的交点分别是（如图），设翻转后容器中的水形成的几何体是，翻转过程中水和容器接触面积为,则下列说法正确的是 （ ）A是棱柱，逐渐增大 B是棱柱，始终不变C是棱台，逐渐增大 D是棱台，积始终不变11. 如图，矩形的长，宽，若平面，矩形的边上至少有一个点,使得，则的范围是（ ）A B C D 12.我们知道
4、，在平面直角坐标系中，方程表示的图形是一条直线，具有特定性质：“在轴，轴上的截距分别为”；类比到空间直角坐标系中，方程表示的点集对应的图形也具有某特定性质，设此图形为，若与平面所成角正弦值为 ，则正数的值是（ ）AB CD二、填空题：本大题共四小题，每小题4分，共16分。请将最简结果填在横线上。13.由空间向量基本定理可知,空间任意向量可由三个不共面的向量唯一确定地表示为，则称为基底下的广义坐标特别地，当为单位正交基底时，为直角坐标设分别为直角坐标中轴正方向上的单位向量，则空间直角坐标在基底下的广义坐标为_14. 如图，平面直角坐标系中，,将其所在纸面沿 轴折成的二面角，则折起后的两点的距离是
5、 15.球放在墙角（两墙面，地面分别两两垂直），紧靠墙面和底面，墙角顶点到球面上的点的最远距离是，则球的体积是 （半径为的球体积公式：）16.关于图中的正方体，下列说法正确的有： _点在线段上运动，棱锥体积不变；点在线段上运动，二面角 不变；一个平面截此正方体，如果截面是三角形，则必为锐角三角形；一个平面截此正方体，如果截面是四边形，则必为平行四边形；平面截正方体得到一个六边形（如图所示），则截面在平面 与平面间平行移动时此六边形周长先增大，后减小。班级： 姓名： 考号： 座位号： 密封线树德中学高2011级第三学期期中数学试题（理科）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。请将最简
6、结果填在横线上。13 14 15 16三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明或演算步骤。17. 长方体，其左视图沿方向投影，左视图如图（1）证明：；（2）当长为时，求多面体的体积 18.(12分)两个边长均为的正方形和所在平面垂直相交于， ,且.（1）证明：平面；（2）当时，求 的长度19(12分)如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点(1)证明：是直角三角形；(2)若，且当二面角的正切值为时， 直线与平面所成角的正弦值20(12分)点是边长为的正方形的中心，点，分别是， 的中点沿对角线把正方形折成直二面角（1）求的大小；（2）求二面角的余弦值21(12分)
7、随着环保理念的深入，用建筑钢材余料创作城市雕塑逐渐流行下图是其中一个抽象派雕塑的设计图。图中表示水平地面,线段表示的钢管固定在上；为了美感，需在焊接时保证：线段表示的钢管垂直于, ，且保持与异面。（1）若收集到的余料长度如下：（单位长度），按现在手中的材料，求与应成的角；（2）设计师想在，中点处再焊接一根连接管，然后挂一个与，同时平行的平面板装饰物。但他担心此设计不一定能实现。请你替他打消疑虑：无论,多长，焊接角度怎样，一定存在一个过的平面与，同时平行（即证明向量与，共面，写出证明过程）；（3） 如果事先能收集确定的材料只有，请替设计师打消另一个疑虑：即要准备多长不用视，长度而定， 只与有关（
8、为设计的与所成的角），写出与的关系式，并帮他算出无论如何设计都一定够用的长度22. (14分)一块边长为的正方形纸片，按如图所示将阴影部分裁下，然后将余下的四个全等的等腰三角形作为侧面制作一个正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影是底面中心的四棱锥）（1）过此棱锥的高以及一底边中点作棱锥的截面（如图），设截面三角形面积为，求的最大值及取最大值时的的值；（2）空间一动点满足，在第（1）问的条件下，求的最小值，并求取得最小值时的值；（3）在第（1）问的条件下，设是的中点，问是否存在这样的动点，它在此棱锥的表面(包含底面)运动，且?如果存在，计算其运动轨迹的长度，如果不存在，说明理由 树德中学高2
9、011级第三学期期中数学试题（理科）参考答案一、选择题。1-5 B A D C B 6-10 B C C A B 11-12 A D二、填空题。13 14 15. 16. 小题部分可参考课本（如下表）：题号5710121516必2P46定理P52习题7,P53 习题2,P46，例2及探究选修P99 2P463思路类似P137探究必2第2章各节都出现的构造长（正）方体模型的思想。综合P57 例2，P78 4，P79 26813147选2-1P1173,4P105例1，P107例3P9811模型来自P106，例2，P107，2选修P99 2三、解答题：17. （1）证明：由长方体性质知，又由左视图
10、知, ,而,.6分(直接用三垂线定理也给分)（2）由，矩形的面积，又上问已证，到的距离即,要求的体积是.12分（用切割前后体积比求亦给分）（此题综合必修2第2章各节都出现的长方体模型）18. （1）证明:法一：如图一，作MPBC，NQBE，P、Q为垂 足，连接PQ，则MPAB，NQAB.所以MPNQ，又AMNF，ACBF，所以MCNB.又MCPNBQ45，所以RtMCPRtNBQ，所以MPNQ.故四边形MPQN为平行四边形. 所以MNPQ. .4分因为PQ平面BCE，MN平面BCE，所以MN平面BCE.6分法二：如图二，过M作MHAB于H，则MHBC.所以.连接NH，由BFAC，FNAM得，所
11、以NHAFBE. .2分.4分因为MN平面MNH，所以MN平面BCE. .6分（2）如上问图二，由比例关系易得：在中，。.12分 （此题模型来自选修2-1P113，B组第2题） .19. （2）如图，过作,则即是要求的角。.8分,二面角的平面角.9分 ，又.10分在中，,.11分在中，即与平面所成角正弦值为。.12分(建直角坐标系或向量法亦给分)（此题模型来自必修2P69，例3及探究）20.解法一：（1）如图，过点E作EGAC，垂足为G，过点F作FHAC，垂足为H，则，GHMABCDEFOMHGOFABECD因为二面角DACB为直二面角， 又在中， .6分 （2）过点G作GM垂直于FO的延长线
12、于点M，连EM二面角DACB为直二面角，平面DAC平面BAC，交线为AC，又EGAC，EG平面BACGMOF，由三垂线定理，得EMOF就是二面角的平面角.9分在RtEGM中，xyzABCDEFO,所以，二面角的余弦值为。.12分解法二：（1）建立如图所示的直角坐标系Oxyz， 则，.6分（2）设平面OEF的法向量为由得解得所以，.9分又因为平面AOF的法向量为，.10分.11分且根据方向判断，二面角的大小为余弦为.12分（此题改编自选修2-1P118，12）21.解：(1) 解法一：设在上的射影为 ,共面，过作于,则为矩形，设，则,由三垂线定理易知将代入，得：，解得，于是,即与所成的是。解法二
13、：按教师教学用书P102的建坐标系方法（如图）。得到，,设由，,，,且是的一个法向量，根据图中方向可知，与应成角为。解法三：向量法（理科）即解得：夹角为，且是的一个法向量，根据图中方向可知：与所成的角为（第（1）问4分）（2）解：由向量加法的三角形法则,两式相加即得。则共面向量的判定定理得到共面。从而一定存在一个过的平面与，同时平行。.8分 (注：此问4分，关键证出： ，理科如果没有依照题意，而是用传统方法证明，方法正确，或者直接使用这个向量结论，则得部分的分)（3）由第上一问的结果得：（单位长度）.10分由题意，即准备（单位长度）就一定够用。.12分 （此题模型来自选修2-1P113，例9，
14、P111，练习1）22. (1)由题意，进一步化为：（注：两个形式的结果都给分）.2分。当且仅当，即时取得最大值。.4分(2) 由，且，得， ,，共面，共面，即。（此处直接用结论酌情给分）即是到平面的距离,在上问条件下，。.7分此时,即。.9分（3）存在这样的点的轨迹，下面说明：取的中点，中点，连接,易证明平面。（可由且也可证，等，均给分）,此时，只要在平面与棱锥的表面的交线上运动，均有.此时，由中位线性质可知，的周长，在（1）的条件下，.14分（注一：找出来，并作图，给2分，说明2分，周长1分）（注二：作图顺序和方式可能不同，但目标只要是找过点和直线垂直的平面，与棱锥的表面的交线，即给分，例如上面找平面的过程亦可先连接与交于,过作于，这样找到的过程已经证明了平面是的垂面） （此题改编自必修2P37，4）版权所有：高考资源网()版权所有：高考资源网()