1、第3讲平面向量的数量积 知 识 梳理 1两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作，则_AB（）叫与的夹角.特别提醒：向量与向量要同起点。 2平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量|cosq_叫与的数量积，记作，即有 = |cosq特别提醒：（1） （）.并规定与任何向量的数量积为0 （2） 两个向量的数量积的性质：设、为两个非零向量，是与同向的单位向量1) = =|cosq；2) = 03) 当与同向时， = |；当与反向时， = -| 特别的 = |2或4) cosq = ；5) | |3“投影”的概念：如图 定义： _|b|cosq_叫做向量b在a方向上的投
2、影特别提醒：投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q = 0时投影为 |b|；当q = 180时投影为 -|b|4 平面向量数量积的运算律交换律： = 数乘结合律： () =() = ()分配律： ( + ) = + 5平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量，设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么， 所以 6.平面内两点间的距离公式如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么：7.向量垂直的判定：设，则8.两向量夹角的余弦（） cosq = 重 难 点 突 破 1.重点：掌握平面向量数量积运算规律；能利用数量积的5
3、个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；2.难点：掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题 3.重难点：.(1) 向量数量积与向量加、减、数乘运算的区别问题1: 两个向量的数量积是一个实数，向量加、减、数乘运算的运算结果是向量。例：规定，=0(不是零向量，注意与=(R)区别)（2）向量数量积与实数相关概念的区别问题2: 表示方法的区别 数量积的记号是，不能写成，也不能写成(所以有时把数量积称为“点乘”，记号另外有定义，称为“叉乘”)问题3:相关概念及运算的区别 若a、b为实数，且 ab=0，则有a=0或b=0，但=0却不能得出=或=因为只要就有=0，而不必=或
4、= 若a、b、cR，且a0，则由ab=ac可得b=c，但由=及0却不能推出=因若、夹角为1，、夹角为2，则由=得|cos1=|cos2及|0，只能得到|cos1=|cos2，即、在方向上投影相等，而不能得出=(见图) 若a、b、cR，则a(bc)=(ab)c(结合律)成立，但对于向量、，则()与()都是无意义的，这是因为与是数量，已不再是向量了，而数量与向量是没有点乘定义的同时，()()，这是因为数量与向量相乘是与共线的向量，而数量与向量相乘则是与共线的向量，所以一般二者是不等的这就是说，向量的数量积是不满足结合律的 若a、bR，则|ab|=|a|b|，但对于向量、，却有|，等号当且仅当时成立
5、这是因为|=|cos|而|cos|1 热 点 考 点 题 型 探 析考点一：平面向量数量积的运算题型1. 求数量积、求模、求夹角例1 ；解题思路： 直接用定义或性质计算解析： 例2 解题思路： 考虑公式cosq =。解析： 【名师指引】注意公式，当知道的模及它们的夹角可求的数量积，反之知道的数量积及的模则可求它们的夹角。题型2。利用数量积解决垂直问题例3 若非零向量、满足，证明: 解题思路： 只须证明。解析： 证明由得:展开得:,故例4 在ABC中，=(2, 3)，=(1, k)，且ABC的一个内角为直角， 求k值解题思路：注意分情况计论 解析：当A = 90时，= 0，21 +3k = 0
6、k = 当B = 90时，= 0，=-= (1-2, k-3) = (-1, k-3)2(-1) +3(k-3) = 0 k = 当C= 90时，= 0，-1 + k(k-3) = 0 k =【名师指引】是一个常用的结论。【新题导练】1（广东省普宁市城东中学2009届高三上学期第三次月考）已知向量，若，则（ ） A B C D答案：D解析： 解得2执信中学2008-2009学年度高三数学试卷知为的三个内角的对边，向量若，且，则角的大小分别为（ ）AB C D答案：C解析：由可得即所以角，且及可得考点2 利用数量积处理夹角的范围题型1：求夹角范围例5已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围
7、是 ( )A.0, B. C. D.解题思路：要求两向量夹角的取值范围,可先求cos的取值范围.解析：由关于的方程有实根，得:.设向量的夹角为，则cos=,又，.答案 B.【名师指引】要求两向量夹角的取值范围,可先求cos的取值范围.【新题导练】3设非零向量=，=，且，的夹角为钝角，求的取值范围 解析 ，的夹角为钝角, 解得或 (1) 又由共线且反向可得 (2) 由(1),(2)得的范围是4已知，,如果与的夹角为锐角,则的取值范围是 答案：或且解析：与的夹角为锐角即且，可得或且 抢 分 频 道 基础巩固训练1. 2009年广东省广州市高三调研测试数 学（理 科）已知向量a =（x，1），b =
8、（3，6），ab ，则实数的值为 A B C D答案：B解析：2.（广东省深圳市2009 届高三九校联）已知，和的夹角为，则为 （ ）ABCD答案：C 解析：，又可得=3广东省北江中学2009届高三上学期12月月考 (数学理) 内有一点,满足,且.则一定是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形答案：D解析：为重心，由可知一定是等腰三角形4广东省恩城中学2009届高三模拟考试（数学理）在ABC中，a,b,c分别为三个内角A,B,C所对的边，设向量，若,则角A的大小为（ ）A. B. C. D. 答案：B解析：由可得即所以角A=5广东省华南师范附属中学200
9、9届高三综合测试己知向量，与的夹角为60，直线与圆的位置关系是 （ ） A相切 B相交 C相离 D随的值而定答案：C解析：与的夹角为60所以圆心到直线距离为故选C6广州市海珠区2009届高三综合测试设是边长为1的正三角形, 则= . 答案： 解析：=综合拔高训练7广东省揭阳二中2009届高三上学期期中考试（数学理）已知(1, 3)，(2, 1)，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m若(k)(2)，则k 答案： 解析：k=（2k，3 k1），2=（5，5）所以(k)(2)=0可得k=8（广东省华南师范附属中学2009届高三综合测试）设平面上向量与不共线，（广东省华南师范附属中学2009届高三综
10、合测试（数学理）设平面上向量与不共线， （1） 证明向量与垂直（2） 当两个向量与的模相等，求角解析： （1）（2）由题意：得：，得又 得或9（广东省五校2009届高三上学期第二次联考（数学理）设、分别是椭圆的左、右焦点.若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;解：（）解法一：易知,所以，设，则 因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值 当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值 解法二：易知，所以设，则10广东省恩城中学2009届高三上学期中段考试（数学理）在ABC中，已知 (1)求AB边的长度；(2)证明：；（3）若,求解：（1） , 即AB边的长度为-4分(2)由 得- 即-6分由得, 由正弦定理得-9分(3) ，由（2）中得由余弦定理得=-14分