1、向量的坐标表示 1(2,1)(1,3)3,4_2(24)10,6(8,10)22_1_ _.ABCDABCDABCABBC BCAC已知的三个顶点、的坐标分别为、，则顶点 的坐标为；若、三点的坐标分别为，、，则、的坐标分别为、【例】()(21)4,1242,2,2112(2,10)(8,4)(10,14)2(2,10)2(8,4)(2,10)(16,8)(1812DxyADBC ADxyBCxxDyyABBCACABBC 设顶点 的坐标为，因为，所以解得，所以因为，所以 【】解析 ,18)11(8,4)(10,14)(33)221 2,22(18,18)(33)BCAC，答案：；，本题主要考查
2、向量的坐标表示和向量的坐标运算，这些均属基础知识、基本方法，做此类题要做到熟、快、准(1,6)3,01|=1|.3ABABPAPAB已知【变式练习点和，在直线上求一点，使】1()|=|31(16)(46)3411,.336241(4)3PxyAPABxyxxyyPP 设 的坐标为，若，则由 ，得解得此时点 的坐标为【】，解析11|=|(16)(46)33471,.336247(8)317(4)(8)33APABxyxxyyPPPP 若，则由 ，得解得此时点 的坐标为，综上所述，或，向量垂直与平行关系的应用【例1】已知a(1,2)，b(3,2)，当k为何值时：(1)kab与a3b垂直；(2)ka
3、b与a3b平行，且平行时它们是同向还是反向？(3,22)3(104)310(3)4(22)019.314(3)10(22)0310 4()3(104)331(3)3312kkkkkkkkkkkkkk ，若 与 垂直，则 ，得 若 与 平行，则 ，得 ，且，所以，所以【解析】与 反向abababababababababababab若向量用坐标表示，则解决向量间的位置关系问题时，用相应的坐标关系式进行运算较简捷【变式练习 2】如图，在直角ABC 中，已知 BCa，若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点，问PQ 与BC的夹角 取何值时BPCQ 的值最大？并求出这个最大值【解析】BPCQ(BAA
4、P)(CAAQ)BACABAAQ APCAAPAQAQ(BACA)AQ 2BCAQ a2a2cosa2，所以当 cos1 即 0 时，BPCQ 的值取最大值为 0.平面向量基本定理的应用【例3】如图，在ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN2NC，AM与 BN 交 于 点 P，求APPM的值【解析】设 e1BM，e2CN，则AM ACCM 3e2e1，BNBCCN 2e1e2.因为 A、P、M 和 B、P、N 分别共线，所以存在实数、，使APAM e13e2，BPBN2e1e2，所以BABPAP(2)e1(3)e2.又BABCCA2e13e2，所以2233，解得4535.所以AP4
5、5AM，即 APPM41.本题考查平面向量基本定理、共线向量的充要条件等基础知识，解题时可选择一组合适的向量作基底，由向量共线列出等式，建立方程组，求出比值【变式练习 3】已知：半圆的直径 AB2，C 为半圆上不同于 A，B 的任意一点，若 P 为半径 OC 上的动点，则(PAPB)PC的最小值是 12.【解析】因为 PO 为PAB 的中线，所以(PAPB)2PO，则(PAPB)PC2PO PC2|PO|PC|cos2|PO|(1|PO|)2(|PO|2|PO|)，所以当|PO|12时有最小值为12.1.已知向量a(1,2)，b(2,3)，c(3,4)，且c1a2b，则1，2的值分别为 _1,
6、2 121212,121211223,41,22,3(223)231.2342c 因为，则，所以，【解析】ab2.(1,2)3 5/已知，且，则 的坐标是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _accac123 53 5()|55(3,6)(36)由已知，所以 或【解析，】acacc(3,6)或(3，6)3.,124,5(,10)OAkOBOCkABCk已知向量，且、三点共线，则 _,124,5(,10)(47)(22)2(47)(22).3OAkOBOCkABkACkABCkkk因为，所以 ，又、三点共线，故，【，所以 解析】234.(2,4)(31)(34
7、)32ABCCMCACNCBMNMN已知、，、，且，求点、的坐标及向量的坐标(2,4)(31)(34)1,86,333 1,83,2422 6,312,6()(34)330,0,20424209,2(90,220ABCCACBCMCACNCBM xyCMxyxxMyyNMN因为、，、，所以，所以，设，则 ，因此得所以，同理可得，所以【解析】)(918)，5.(3cossin)(3cossin)023,1ABOAOB已知，且与 共线，求 的值a(3 cos3 cossinsin)3,1sinsin133 cos3 cosOAOBOAOB依题意，得，因为与 共线，所以【解析】a3(coscos)3
8、(sinsin)cos3sincos3sin1313cossincossin2222cos()cos()332,33341024.3333即，即，即，即因为所以 或，则 或1根据平面向量基本定理，在同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合在实际解题中的指导意义在于找到表示一个平面内所有向量的一组基底(不共线向量e1与e2)，这样，平面上的任何一个向量a都可以用e1、e2唯一表示为a1e12e2，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有e1、e2的代数运算为了降低问题的难度，可以应用方程的思想将问题转化2基底建模是向量法解决几何图形有关证明和求解的一种重要方法，关键在于选取的基底是否合适，注意与已知条件联系