1、热点一古典概型热点二利用互斥、对立、独立求随机事件的概率热点三离散型随机变量的分布列、均值、方差热点四概率与统计的综合应用结束放映返回目录第2页 热点突破古典概型是一种重要的概率模型，其核心是利用排列数与组合数计算概率因此较强的排列组合计算能力是解决好复杂古典概型问题的关键热点一 古典概型结束放映返回目录第3页 热点突破例 1有 9 张卡片分别写着数字 1，2，3，4，5，6，7，8，9，甲、乙二人依次从中抽取一张卡片(不放回)，试求：(1)甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的概率(2)甲、乙二人至少抽到一张写有奇数数字卡片的概率解(1)甲、乙二人依次从 9 张卡片中抽取一张的可
2、能结果有 C19C18，甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的结果有 C15C14种，设甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的概率为 P1，则 P1C15C14C19C182072 518.(2)法一 甲、乙二人至少抽到一张写有奇数数字卡片的事件包含下面的三个事件：“甲抽到写有奇数数字的卡片，乙抽到写有偶数数字的卡片”有C15C14种；热点一 古典概型结束放映返回目录第4页 热点突破例 1有 9 张卡片分别写着数字 1，2，3，4，5，6，7，8，9，甲、乙二人依次从中抽取一张卡片(不放回)，试求：(1)甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的概率(2)甲、乙
3、二人至少抽到一张写有奇数数字卡片的概率“甲抽到写有偶数数字卡片,且乙抽到写有奇数数字卡片”有 C14C15种；“甲、乙二人均抽到写有奇数数字卡片”有 C15C14种设甲、乙二人至少抽到一张写有奇数数字卡片的概率为 P2，则 P2C15C14C14C15C15C14C19C18607256.法二甲、乙二人至少抽到一张奇数数字卡片的对立事件为两人均抽到写有偶数数字卡片，设为 P 2，则 P21 P 21C14C13C19C1856.热点一 古典概型结束放映返回目录第5页 热点突破 热点一 古典概型利用古典概型求概率的关键及注意点(1)关键：正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常常用到
4、排列、组合的有关知识(2)注意点：对复杂的古典概型，应正确判断基本事件是否与顺序有关，以决定是按排列数，还是按组合数计算在计算时，不能出现分子、分母一部分按排列数计算另一部分按组合数计算的现象结束放映返回目录第6页【训练 1】(2015成都调研)为了丰富学生的课余生活，促进校园文化建设，我校高二年级通过预赛选出了 6 个班(含甲、乙)进行经典美文诵读比赛决赛决赛通过随机抽签方式决定出场顺序求：(1)甲、乙两班恰好在前两位出场的概率；(2)决赛中甲、乙两班之间的班级数记为 X，求 X 的分布列和数学期望解(1)设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件 A，则 P(A)A22A44A66 115.所
5、以甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为 115.(2)随机变量 X 的可能取值为 0，1，2，3，4.热点突破P(X0)A22A55A6613，P(X1)4A22A44A66 415，热点一 古典概型结束放映返回目录第7页【训练 1】(2015成都调研)为了丰富学生的课余生活，促进校园文化建设，我校高二年级通过预赛选出了 6 个班(含甲、乙)进行经典美文诵读比赛决赛决赛通过随机抽签方式决定出场顺序求：(1)甲、乙两班恰好在前两位出场的概率；(2)决赛中甲、乙两班之间的班级数记为 X，求 X 的分布列和数学期望P(X2)A24A22A33A6615，P(X3)A34A22A22A66 215，P(
6、X4)A44A22A66 115.热点突破随机变量 X 的分布列为X01234 P1341515215115因此，E(X)0131 4152153 2154 11543.热点一 古典概型结束放映返回目录第8页 互斥、对立与独立是事件间的基本关系，一个复杂事件经常可以转化为几个简单事件的和或积的形式这充分体现了化繁为简的思想，是高考中的常考题型热点二 利用互斥、对立、独立求随机事件的概率热点突破结束放映返回目录第9页【例题 2】(12 分)某项专业技术认证考试按科目 A 和科目 B 依次进行，只有当科目 A 成绩合格时，才可继续参加科目 B 的考试已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均
7、合格方可获得证书，现某人参加这项考试，科目 A 每次考试成绩合格的概率均为23，科目 B 每次考试成绩合格的概率均为12，假设各次考试成绩合格与否互不影响(1)求他不需要补考就可获得证书的概率(2)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，求他分别参加 2 次、3 次、4 次考试的概率解析 设“科目 A 第一次考试合格”为事件 A1，“科目 A 补考合格”为事件 A2，“科目 B 第一次考试合格”为事件 B1，“科目 B补考合格”为事件 B2，则 A1，A2，B1，B2 相互独立(3 分)(1)设“不需要补考就可获得证书”为事件 M，热点突破 热点二 利用互斥、对立、独立求随机事件的概率则
8、 P(M)P(A1B1)P(A1)P(B1)231213.即他不需要补考就可获得证书的概率为13.(6 分)结束放映返回目录第10页(2)设“参加考试次数为 2 次、3 次、4 次”分别为事件 E，C，D.则 P(E)P(A1B1 A 1 A 2)P(A1)P(B1)P(A 1)P(A 2)2312131349，(8 分)P(C)P(A1 B 1B2A1 B 1 B 2 A 1A2B1)P(A1)P(B 1)P(B2)P(A1)P(B 1)P(B 2)P(A 1)P(A2)P(B1)23121223121213231249，(10 分)热点突破 热点二 利用互斥、对立、独立求随机事件的概率P(
9、D)P(A 1A2 B 1B2 A 1A2 B 1 B 2)P(A 1)P(A2)P(B 1)P(B2)P(A 1)P(A2)P(B 1)P(B 2)132312121323121219.即他分别参加 2 次、3 次、4 次考试的概率分别为49，49，19.(12 分)(另解：P(D)1P(EC)1P(E)P(C)1494919)结束放映返回目录第11页 热点突破 热点二 利用互斥、对立、独立求随机事件的概率用字母表示事件，并写出相应事件的概率 把所求事件表示为已知事件的和或积的形式(含至多、至少可考虑用对立事件)利用相关公式进行计算得结果第一步第二步第三步利用互斥、对立、独立求随机事件的概率
10、的一般步骤(1)一个复杂事件若正面情况较多，反面情况较少，则一般利用对立事件进行求解尤其是涉及到“至多”、“至少”等问题时常常用这种方法求解(2)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件是能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解 结束放映返回目录第12页【训练 2】(2014山东卷)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域 A，B，乙被划分为两个不相交的区域 C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球规定：回球一次，落点在 C 上记 3 分，在 D 上记 1 分，其他情况记 0 分对落点
11、在 A 上的来球，队员小明回球的落点在 C上的概率为12，在 D 上的概率为13；对落点在 B 上的来球，小明回球的落点在 C 上的概率为15，在 D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在 A，B 上各一次，小明的两次回球互不影响求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；(2)两次回球结束后，小明得分之和 X 的分布列与数学期望解析(1)记 Ai 为事件“小明对落点在 A 上的来球回球的得分为 i 分”(i0，1，3)，热点突破 热点二 利用互斥、对立、独立求随机事件的概率结束放映返回目录第13页 则 P(A3)12，P(A1)13，P(A0)1121316；记 Bi 为事件
12、“小明对落点在 B 上的来球回球的得分为 i 分”(i0，1，3)，则 P(B3)15，P(B1)35，P(B0)1153515.记 D 为事件“小明两次回球的落点中恰有 1 次落点在乙上”由题意，DA3B0A1B0A0B1A0B3，由事件的独立性和互斥性，得P(D)P(A3B0A1B0A0B1A0B3)热点突破 热点二 利用互斥、对立、独立求随机事件的概率P(A3B0)P(A1B0)P(A0B1)P(A0B3)P(A3)P(B0)P(A1)P(B0)P(A0)P(B1)P(A0)P(B3)1215131516351615 310，所以小明两次回球的落点中恰有 1次的落点在乙上的概率为 310
13、.结束放映返回目录第14页(2)由题意，随机变量 X 可能的取值为 0，1，2，3，4，6，由事件的独立性和互斥性，得P(X0)P(A0B0)1615 130，P(X1)P(A1B0A0B1)P(A1B0)P(A0B1)1315163516，P(X2)P(A1B1)133515，P(X3)P(A3B0A0B3)P(A3B0)P(A0B3)12151516 215，P(X4)P(A3B1A1B3)P(A3B1)P(A1B3)123513151130，热点突破 热点二 利用互斥、对立、独立求随机事件的概率P(X6)P(A3B3)1215 110.可得随机变量 X 的分布列为：X012346 P13
14、016152151130110所以数学期望E(X)0 1301162153 215411306 1109130.结束放映返回目录第15页 热点三 离散型随机变量的分布列、均值、方差离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是数学高考的一大热点，每年均有解答题，属于中档题复习中应强化应用题目的理解与掌握，弄清随机变量的所有取值是正确列随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概型的确定与转化是解题的基础，准确计算是解题的核心，在备考中强化解答题的规范性训练热点突破结束放映返回目录第16页【例题 3】某单位需要从两名选手中选出一人参加上级组织的普及法律知识竞赛，现设计了一个挑选方案：选手从 6 道备选
15、题中一次性随机抽取 3 题，至少答对 2 题才算合格通过考查可知：6 道备选题中选手甲有 4 题能答对，2 题答错；选手乙答对每题的概率都是23，且每题答对与否互不影响(1)分别写出甲、乙两名选手答对题数的概率分布，并计算数学期望；(2)你认为应该挑选哪个选手去参加比赛热点突破 热点三 离散型随机变量的分布列、均值、方差随机变量的意义是什么？它的可能取值有哪几个？随机变量的每个取值对应事件是什么？利用何种概率模型求其概率？利用相应公式求概率，并列出分布列 一审二审三审求离散型随机变量分布列、数学期望、方差的审题流程 分布列中各概率的和为 1 吗？四审求数学期望与方差五审结束放映返回目录第17页
16、 解析(1)设选手甲、乙答对的题数分别为 X，Y，则 X 的可能取值为 1，2，3；Y 的可能取值为 0，1，2，3，则 P(X1)C14C22C36 15，P(X2)C24C12C36 35，P(X3)C34C02C36 15，热点突破 热点三 离散型随机变量的分布列、均值、方差选手甲答对题数的概率分布为：X123 P153515E(X)1152353152.P(Y0)C03133 127，P(Y2)C232321349，P(Y3)C33233 827，选手乙答对题数的概率分布为：Y0123 P1272949827E(Y)0 1271292493 8272.结束放映返回目录第18页(2)D(
17、X)(12)215(22)235(32)21525，D(Y)(02)2 127(12)229(22)249(32)2 82723，D(X)P(Y2)从答对题数的数学期望考查，两人水平相当；热点突破 热点三 离散型随机变量的分布列、均值、方差从答对题数的方差考查，甲较稳定；从至少答对 2 题的概率考查，甲获得通过的可能性大，因此应该让选手甲去参加比赛结束放映返回目录第19页 利用均值和方差比较随机变量的取值情况，一般是先比较均值，均值不同时，即可比较出产品的优劣或水平的高低，均值相同时，再比较方差，由方差来决定产品或技术水平的稳定情况 热点突破 热点三 离散型随机变量的分布列、均值、方差结束放映
18、返回目录第20页 训练 3 如图所示，是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图(1)求直方图中 x 的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取 3 位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在 3 至 4 吨的居民数 X 的分布列、数学期望与方差热点突破 热点三 离散型随机变量的分布列、均值、方差解析(1)依题意及频率分布直方图知，(0.020.1x0.370.39)11，解得 x0.12.(2)由题意知，XB(3，0.1)因此 P(X0)C030.930.729，P(X1)C130.10.920.243，P(X2)C230.120.90.027，P(X3)C
19、330.130.001.结束放映返回目录第21页 训练 3 如图所示，是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图(1)求直方图中 x 的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取 3 位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在 3 至 4 吨的居民数 X 的分布列、数学期望与方差热点突破 热点三 离散型随机变量的分布列、均值、方差故随机变量 X 的分布列为X0123P0.729 0.243 0.027 0.001X 的数学期望为 E(X)30.10.3X 的方差为 D(X)30.1(10.1)0.27.结束放映返回目录第22页 热点四 概率与统计的综合应用概率与
20、统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性热点突破结束放映返回目录第23页【例题 4】电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100 名观众进行调查下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”(1)根据已知条件完成下面的 22 列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？(2)将上述调查所得到的频率视为概率现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取 1 名观众，抽取 3
21、次，记被抽取的 3 名观众中的“体育迷”人数为 X.若每次抽取的结果是相互独立的，求 X 的分布列，期望 E(X)和方差热点突破 热点四 概率与统计的综合应用 非体育迷 体育迷 合计 男 女 10 55 合计 P(K2k0)0.10 0.05 0.01 k0 2.706 3.841 6.635 附：K2n（adbc）2（ab）（cd）（ac）（bd）结束放映返回目录第24页 解析 由频率分布直方图可知，在抽取的 100 人中，“体育迷”有 25 人，从而 22 列联表如右：非体育迷 体育迷 合计男301545女451055合计7525100热点突破将 22 列表中的数据代入公式计算，得K2n（
22、adbc）2（ab）（cd）（ac）（bd）100（30104515）27525455510033 3.030.因为 2.7063.0303.841，所以有 90%的把握认为“体育迷”与性别有关热点四 概率与统计的综合应用P(K2k0)0.10 0.05 0.01 k0 2.706 3.841 6.635 结束放映返回目录第25页(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为 0.25，热点突破将频率视为概率，即随机抽取一名观众，是“体育迷”的概率为14.由题意知 XB3，14，从而 X 的分布列为X0123 P 27642764964164E(X)np31434，热点四 概率与统计的综合应用
23、D(X)np(1p)31434 916.结束放映返回目录第26页 统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主，概率以考查概率计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题 热点突破 热点四 概率与统计的综合应用结束放映返回目录第27页 训练 4 为备战 2016 年奥运会，甲、乙两位射击选手进行了强化训练现分别从他们的强化训练期间的若干次平均成绩中随机抽取8 次，记录如下：甲：8.3，9.0，7.9，7.8，9.4，8.9，8.4，8.3；乙：9.2，9.5，8.0，7.5，8.2，8.1，9.0，8.5.(1)
24、画出甲、乙两位选手成绩的茎叶图；(2)现要从中选派一人参加奥运会封闭集训，从统计学角度，你认为派哪位选手参加合理？简单说明理由；(3)若将频率视为概率，对选手乙在今后的三次比赛成绩进行预测，记这三次成绩中不低于 8.5 分的次数为 X，求 X 的分布列及均值 E(X)、方差 D(X)热点突破解析(1)甲、乙两位选手成绩的茎叶图如图：热点四 概率与统计的综合应用结束放映返回目录第28页 热点突破(2)因为 x 甲 x 乙8.5，又 s2甲0.27，s2乙0.405，得 s2甲s2乙，热点四 概率与统计的综合应用所以选派甲合适(3)依题意得，乙不低于 8.5 分的频率为12，X 的可能取值为 0，1，2，3.则 XB3，12，P(Xk)Ck312k1123kCk3123，k0，1，2，3.所以 X 的分布列为X0123P18383818E(X)np31232，D(X)np(1p)312112 34.结束放映返回目录第29页（见教辅）