1、四川省成都石室中学2020届高三数学一诊考试试题 文（含解析）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由交集的定义求解即可,注意【详解】故选:C【点睛】本题考查集合的交集运算,属于基础题2.设为虚数单位，若复数满足，则的共轭复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案【详解】由i1+i，得，故选：D【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题3.若等边的边长为4，则（ ）A. 8B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】可画出图形，根据条件及
2、向量数量积计算公式便可得出的值【详解】如图，根据条件，故选：A【点睛】本题考查等边三角形的概念，以及向量夹角的概念，向量数量积的计算公式4.由数字0,1,2,3组成的无重复数字的4位数中，比2019大的数的个数为（ ）A. 10B. 11C. 12D. 13【答案】B【解析】【分析】分别讨论首位为3,2的情况,进而汇总即可【详解】当首位为3时,都满足,共6个；当首位为2,百位为1或3时,都满足,此时4个；当首位为2,百位为0时,只有2031满足,综上,共11个故选:B【点睛】本题考查分类讨论思想的应用,考查分类加法计数原理5.若等比数列满足：，则该数列的公比为（ ）A. B. 2C. D. 【
3、答案】B【解析】【分析】直接由得到q=2或2，再依据条件进行取舍.【详解】设等比数列an的首项为a1，公比为q，q=2或2，又当q=2时，满足， 当q=2时，不满足，q=2故选：B【点睛】本题考查等比数列的通项公式的基本运算，考查了分类讨论思想，属于基础题.6.若实数，满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用反例判断A、B、D不正确，函数的单调性以及函数的奇偶性判断C的正误即可【详解】对于A，e2e1，A错误；对于B：，B错误；对于C：为偶函数，且当x（0，+）时，单调递增，当时，即，故C正确；对于D，反例a2，b1，可得0，0，所以D不正确，故选：C【点睛】本题考
4、查命题的真假的判断与应用，考查指数函数，三角函数，以及函数奇偶性、单调性的应用，是基本知识的考查7.在正四棱柱中，点，分别为棱，上两点，且，则（ ）A. ，且直线，异面B. ，且直线，相交C. ，且直线，异面D. ，且直线，相交【答案】A【解析】【分析】作图，通过计算可知D1EAF，取点M为BC的中点，则AMFD1共面，显然点E不在面AMFD1内，由此直线D1E，AF异面【详解】，如图，取点M为BC的中点，则AD1MF，故AMFD1共面，点E在面AMFD1面外，故直线D1E，AF异面故选：A【点睛】本题主要考查异面直线的判定及空间中线段的距离求解，属于基础题8.设函数，若f（x）在点（3，f（
5、3）的切线与x轴平行，且在区间m1，m+1上单调递减，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出导函数，利用切线的斜率，求出a，判断函数的单调性，列出不等式组求解即可【详解】，a1，因为x0，所以当0x3时，f（x）0，即f（x）在（0，3上递减，所以，1m2故选：C【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题9.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用降幂公式可得,再利用诱导公式求解即可详解】故选:B【点睛】本题考查降幂公式的应用,考查诱导公式的应用,考查已知三角函数值求三
6、角函数值10.函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出函数的定义域，排除选项，利用特殊值判断求解即可【详解】函数f（x）的定义域为：x1，均满足，当x1时，f（1）0，排除A、 C当x2时，f（2）0，排除B；故选：D【点睛】本题考查函数的图象的判断，利用函数的定义域以及特殊值是判断函数的图象的常用方法11.设圆，若等边的一边为圆的一条弦，则线段长度的最大值为（ ）A. B. C. 4D. 【答案】C【解析】【分析】化圆的一般方程为标准方程，画出图形，设CAB（0），连接PC与AB交于点D，把|PD|、|CD|用含有的代数式表示，再由三角函数求最值【详解】化
7、圆C：x2+y22x30为（x1）2+y24，连接AC，BC，设CAB（0），连接PC与AB交于点D，ACBC，PAB是等边三角形，D是AB的中点，得PCAB，在圆C：（x1）2+y24中，圆C的半径为2，|AB|4cos，|CD|2sin，在等边PAB中，|PD|AB|，|PC|CD|+|PD|4故选：C【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，训练了利用三角函数求最值，是中档题12.设函数，下述四个结论：是偶函数； 的最小正周期为；的最小值为0； 在上有3个零点其中所有正确结论的编号是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数相关知识对各选项
8、逐个判断，即可得出其真假【详解】因为函数f（x）定义域为R，而且f（x）cos|2x|+|sinx|f（x），所以f（x）是偶函数，正确；因为函数ycos|2x|的最小正周期为，y|sinx|的最小正周期为，所以f（x）的最小正周期为，正确；f（x）cos|2x|+|sinx|cos2x+|sinx|12sin2x+|sinx|2（|sinx|）2，而|sinx|0，1，所以当|sinx|1时，f（x）的最小值为0，正确；由上可知f（x）0可得12sin2x+|sinx|0，解得|sinx|1或|sinx|（舍去）因此在0，2上只有x或x，所以不正确故选：B【点睛】本题主要考查命题的真假判断，
9、涉及三角函数的有关性质的应用，属于中档题13.若等差数列满足：，则_.【答案】n【解析】【详解】设等差数列an的公差为da11，a2+a35，即d1， ann，故答案为：n【点睛】本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意裂项求和法的合理运用14.今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类.某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为_.【答案】0.4【解析】【分析】将买猪肉的人组成的集合设为A，买其它肉的人组成的集合
10、设为B，由韦恩图易得只买猪肉的人数，与100作比，即得结果.【详解】由题意，将买猪肉的人组成的集合设为A，买其它肉的人组成的集合设为B，则韦恩图如下：中有30人，中有10人，又不买猪肉的人有30位，中有20人，只买猪肉的人数为：100，这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为=0.4，故答案为；0.4【点睛】本题考查了用样本估计总体，用频率估计概率的方法，考查了韦恩图的应用，属于中档题.15.已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线分别与两条渐近线交于、两点，若，则_.【答案】1【解析】【分析】由题意画出图形，结合已知可得B（，），写出F1B的方程，与联立求得A点坐标，得到A为B、F1
11、的中点，可得结论【详解】如图，因为B在渐近线上，设B（，）, 且， ，则B（，）F1B：y（x+2），联立，解得A（，），即A为B、F1的中点故答案为：1【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题16.若函数f（x），恰有2个零点，则实数的取值范围是_.【答案】，1）2e，+）【解析】【分析】分四种情况讨论当a0时，当0a2时，当a2时，当a2时，图象使得符合函数f（x）有两个零点详解】当a0时，不满足题意，当0a2时，要使函数函数f（x）恰有2个零点，即，当a2时，ex2=0，得到x=ln2满足x1，此时得到x=4，共有2个零点，满足题意，当a2时，
12、a22a4，要使函数f（x）恰有2个零点，即ea0所以ae，综上所述：实数a的取值范围是，1）2e，+）故答案为：，1）2e，+）【点睛】本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题17.某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：消费次第第1次第2次第3次第4次5次收费比率10.950.900.850.80该公司注册的会员中没有消费超过5次的，从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如下：消费次数1次2次3次4次5次人数6020105
13、5假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：（1）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；（2）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率， 设该公司为一位会员服务的平均利润为元，求大于40的概率.【答案】（1）45；（2）0.8【解析】【分析】（1）分别求得第一次、第二次消费公司的利润,再求出平均数即可；（2）由第一个表格数据求得消费次数与公司平均利润的关系,由第二个表格得到消费次数与概率的关系,进而得到公司平均利润与概率的关系,求解即可【详解】（1）由题,第一次消费为200元,利润为元；第二次消费元,利润为元,两次消费的平均利润为元（2）若该会员消费1次,
14、则,所以；若该会员消费2次,则,所以；若该会员消费3次,则,所以；若该会员消费4次,则,所以；若该会员消费5次,则,所以故大于40的概率为【点睛】本题考查平均数,考查古典概型,考查数据处理能力18.的内角，的对边分别为，设.（1）求；（2）若的周长为8，求的面积的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）利用三角形内角和定理即二倍角公式化简已知等式，结合B的范围即可得到结果（2）利用三角形的面积求出ac，利用余弦定理结合基本不等式求出ac的范围，即可得面积的范围【详解】（1）且，又，（2）由题意知：，或（舍）（当时取“”）综上，的面积的取值范围为【点睛】本题主要考查了三角函数恒等
15、变换的应用，余弦定理，三角形面积公式，二倍角公式的应用，考查了计算能力，属于中档题19.如图，在四棱柱中，底面是边长为2的菱形，且，.（1）证明：平面平面； （2）求棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）设的中点为,连接,利用等腰三角形的性质证明,再利用勾股定理可得是直角三角形,即证得,进而求证即可；（2）由线面平行的关系可得,再利用平行四边形的性质可得,进而求解即可【详解】（1）证明:由题,设的中点为,连接,又底面为边长为2的菱形,且,是等边三角形,又,又平面,平面,又平面,平面平面（2）,平面,且,【点睛】本题考查面面垂直的证明,考查棱锥的体积,考查转化思想20
16、.设椭圆，过点的直线分别交于相异的两点，直线恒过点（1）证明：直线的斜率之和为；（2）设直线分别与轴交于两点，点，求.【答案】（1）证明见解析；（2）1【解析】【分析】（1）设直线为,与椭圆方程联立可得,利用韦达定理得到的关系,由斜率公式可得,将,代入,进而即可得证；（2）设直线为,令,可求得,同理,进而求解即可【详解】（1）证明:设直线为,联立,得,且可得;,设,由韦达定理可得,设直线、的斜率分别为,所以,所以直线的斜率之和为（2）设,因为直线为,令,得,即,同理,即,因为,所以【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查斜率公式的应用,考查椭圆中的定值问题21.设函数，（1）求的最大值
17、；（2）当时，求证：.【答案】（1）0；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求导得,显然在上单调递增,则,因此存在唯一,使得,可得在单调递减,在单调递增,则；（2）由题,要证明,由可证明,构造函数,求导,利用（1）判断的单调性,进而证明即可【详解】（1）由题,所以在上单调递增,因为,所以,所以存在唯一,使得,当,单调递减；当,单调递增,因为,所以（2）证明:因为,所以,构造函数,所以,由（1）得在上恒成立,所以函数在上单调递减,所以,所以在恒成立,即在恒成立,所以,时,【点睛】本题考查利用导函数求函数最值,考查不等式恒成立的证明,考查利用导函数判断函数单调性22.在直角坐标系中，直线（为参
18、数）与曲线（为参数）相交于不同的两点，.（1）当时，求直线与曲线的普通方程；（2）若，其中，求直线的倾斜角.【答案】(1) ；(2) 或【解析】【分析】（1）直接化曲线C的参数方程为普通方程，将代入l的参数方程，再化为普通方程. （2）将l的参数方程代入C的普通方程，利用此时t的几何意义及根与系数的关系得|MA|MB|，,然后求得tan即可【详解】（1）当时直线的普通方程为：；曲线的普通方程为；（2）将直线代入得所以直线的倾斜角为或【点睛】本题考查参数方程化普通方程，考查直线方程中此时t的几何意义的应用，是中档题23.已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，不等式成立，证明：【答案】(1) (2)证明见解析【解析】【分析】（1）将a1代入f（x）中，去绝对值，然后分别解不等式；（2）由条件可得，对恒成立，转化为最值问题建立不等式组，然后解出的范围即可证明【详解】（1）解：当时若则若则成立若则综上，不等式的解集为（2）当时【点睛】本题考查解含绝对值不等式以及绝对值不等式恒成立问题，转化为求解函数最值，考查综合分析求解能力，属中档题