1、第二节空间几何体的表面积与体积考点一空间几何体的表面积1.(2015新课标全国，11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为1620，则r()A.1 B.2C.4 D.8解析由题意知，2r2r2r2rr2r24r24r25r21620，r2.答案B2.(2015新课标全国，10)已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点.若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A.36 B.64 C.144 D.256解析如图，要使三棱锥OABC即COAB的体积最大，当且仅当点C到平面OAB的
2、距离，即三棱锥COAB底面OAB上的高最大，其最大值为球O的半径R，则VOABC最大VCOAB最大SOABRR2RR336，所以R6，得S球O4R2462144.选C.答案C3.(2015安徽，9)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()A.1 B.12 C.2 D.2解析由几何体的三视图可知空间几何体的直观图如图所示.其表面积S表2212()22，故选C.答案C4.(2014陕西，5)将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()A.4 B.3 C.2 D.解析由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底面半径为1，高为1，其侧面积S2rh2112.答案
3、C5.(2014山东，13)一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_.解析由题意可知，该六棱锥是正六棱锥，设该六棱锥的高为h，则622h2，解得h1，底面正六边形的中心到其边的距离为，故侧面等腰三角形底边上的高为2，故该六棱锥的侧面积为12212.答案126.(2013新课标全国，15)已知H是球O的直径AB上一点，AHHB12，AB平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为_.解析平面截球O所得截面为圆面，圆心为H，设球O的半径为R，则由AHHB12得OHR，由圆H的面积为，得圆H的半径为1，所以()212R2，得出R2，所以球O的
4、表面积S4R24.答案7.(2013新课标全国，15)已知正四棱锥OABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为_.解析如图所示，在正四棱锥OABCD中，VOABCDS正方形ABCD|OO1|()2|OO1|，|OO1|，|AO1|，在RtOO1A中，OA，即R，S球4R224.答案24考点二几何体的体积1.(2015新课标全国，6)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的
5、米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛解析由题意知：米堆的底面半径为(尺)，体积VR2h(立方尺).所以堆放的米大约为22(斛).答案B2.(2015新课标全国，6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A. B.C. D.解析如图，由题意知，该几何体是正方体ABCDA1B1C1D1被过三点A、B1、D1的平面所截剩余部分，截去的部分为三棱锥AA1B1D1，设正方体的棱长为1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为.选D.答案D3.(2015山
6、东，9)已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A. B. C.2 D.4解析如图，设等腰直角三角形为ABC，C90，ACCB2，则AB2.设D为AB中点，则BDADCD.所围成的几何体为两个圆锥的组合体，其体积V2()2.答案B4.(2015湖南，10)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件的利用率为(材料利用率新工件的体积/原工件的体积)()A. B.C. D.解析欲使正方体最大，则其上底面四个顶点需在圆锥上.圆锥体积V1122.
7、作几何体截面图，则内接正方体棱长a.正方体体积V2a3，.故选A.答案A5.(2014新课标全国，7)正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥AB1DC1的体积为()A.3 B. C.1 D.解析由题意可知ADBC，由面面垂直的性质定理可得AD平面DB1C1，又AD2sin 60，所以VAB1DC1ADSB1DC121，故选C.答案C6.(2014重庆，7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.12 B.18 C.24 D.30解析此几何体是由一个三棱柱截去一个三棱锥得到的，三棱柱和三棱锥的底面都是直角三角形，两直角边长分别为3和4，其面积为6，
8、三棱柱的高为5，三棱锥的高为3，所以该几何体的体积为656324，选择C.答案C7.(2013新课标全国，11)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.168 B.88 C.1616 D.816解析由三视图分析可知，几何体由底面半径为2，高为4的半圆柱和长、宽、高分别为2，4，2的长方体组合而成，V44242168，由三视图准确得出几何体的形状是解题的关键.答案A8.(2013浙江，5)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A.108 cm3 B.100 cm3 C.92 cm3 D.84 cm3解析结合三视图可得几何体的直观图如图所示，其体积VVABC
9、DA1B1C1D1VD1A1EF，由三视图可得VABCDA1B1C1D1663108(cm3)，VD1A1EF4438(cm3)，V100 cm3.答案B9.(2015四川，14)在三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥PA1MN的体积是_.解析由题意知还原后的几何体是一个直放的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1的直三棱柱，VPA1MNVA1PMN，又AA1平面PMN，VA1PMNVAPMN，VAPMN1，故VPA1MN.答案10.(20
10、14天津，10)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.解析由三视图可得该几何体是组合体，上面是底面圆的半径为2 m、高为2 m的圆锥，下面是底面圆的半径为1 m、高为4 m的圆柱，所以该几何体的体积是424(m3).答案11.(2013北京，10)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为_.解析由三视图知该四棱锥底面为正方形，其边长为3，四棱锥的高为1，根据体积公式V3313，故该棱锥的体积为3.答案312.(2013天津，10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为，则正方体的棱长为_.解析由题意知V球R3，R.设正方体的棱长为a，则a2R，a，所以
11、正方体的棱长为.答案13.(2012山东，13)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥ADED1的体积为_.解析由正方体的性质知B1C平面AA1D1D，E到平面AA1D1D的距离等于C到平面AA1D1D的距离，于是三棱锥ADED1的体积即为三棱锥EAD1D的体积，也是三棱锥CAD1D的体积.SAD1D，VCAD1DSAD1DCD1.答案14.(2015新课标全国，19)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中AB16，BC10，AA18，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1ED1F4.过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.(1)在
12、图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.解(1)交线围成的正方形EHGF如图：(2)作EMAB，垂足为M，则AMA1E4，EB112，EMAA18.因为EHGF为正方形，所以EHEFBC10.于是MH6，AH10，HB6.因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为(也正确).15.(2015湖南，18)如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点.(1)证明：平面AEF平面B1BCC1；(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45，求三棱锥FAEC的体积.(1)证明ABC为正三
13、角形，E为BC中点，AEBC，又B1B平面ABC，AE平面ABC，B1BAE，由B1BBCB知，AE平面B1BCC1，又由AE平面AEF，平面AEF平面B1BCC1.(2)解设AB中点为M，连接CM，则CMAB，由平面A1ABB1平面ABC且平面A1ABB1平面ABCAB知，CM面A1ABB1，CA1M即为直线A1C与平面A1ABB1所成的角.CA1M45，易知CM2，在等腰RtCMA中，AMCM，在RtA1AM中，A1A.FCA1A，又SAEC4，V三棱锥FAEC.16.(2014广东，18)如图1，四边形ABCD为矩形，PD平面ABCD，AB1，BCPC2.作如图2折叠：折痕EFDC，其中
14、点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MFCF.(1)证明：CF平面MDF；(2)求三棱锥MCDE的体积.(1)证明PD平面ABCD，AD平面ABCD，PDAD，又四边形ABCD是矩形，CDAD，PD平面PCD，CD平面PCD，且PDCDD，AD平面PCD，CF平面PCD，ADCF，又MFCF，MFADM，CF平面MDF.(2)解PD平面ABCD，PDCD，又CDAB1，PC2，PD.由(1)知CF平面MDF，CFDF.由SPCDPDCDPCDF得DF，CF，EFCD，DEDP.SCDECDDE1.AD平面PCD，即MD平面CDE，且MEPEPDED，M
15、D，三棱锥MCDE的体积为VMCDESCDEMD.17.(2013重庆，19)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，PA2，BCCD2，ACBACD.(1)求证：BD平面PAC；(2)若侧棱PC上的点F满足PF7FC，求三棱锥PBDF的体积.(1)证明因BCCD，即BCD为等腰三角形，又ACBACD，故BDAC.因为PA底面ABCD，所以PABD.从而BD与平面PAC内两条相交直线PA，AC都垂直，所以BD平面PAC.(2)解三棱锥PBCD的底面BCD的面积SBCDBCCDsinBCD22sin .由PA底面ABCD，得VPBCDSBCDPA22.由PF7FC，得三棱锥FBCD的高为PA，故VFBCDSBCDPA2，所以VPBDFVPBCDVFBCD2.10
