1、第24讲尺规作图1尺规作图的作图工具圆规和没有刻度的直尺2基本尺规作图类型一：作一条线段等于已知线段步骤：作射线OP；以O为圆心，a为半径作弧，交OP于A，OA即为所求线段图示：类型三：作线段的垂直平分线步骤：分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径，在AB两侧作弧，两弧交于M，N点；连接MN，直线MN即为所求垂直平分线图示：类型四：作一个角等于已知角：步骤：以O为圆心，以任意长为半径作弧，交的两边于点P，Q；作射线OA；以O为圆心，OP长为半径作弧，交OA于点M；以点M为圆心，PQ长为半径作弧，交前弧于点N；过点N作射线OB，AOB即为所求角图示：类型五：过一点作已知直线的垂线步骤：点在直线
2、上：以点O为圆心，任意长为半径作弧，交直线于A，B两点；分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径在直线两侧作弧，交点分别为M，N；连接MN，MN即为所求垂线点在直线外：在直线另一侧取点M；以PM为半径画弧，交直线于A，B两点；分别以A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，交M同侧于点N；连接PN，则直线PN即为所求的垂线图示：3常见几种基本尺规作图作三角形 已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形4作图的一般步骤 (1)已知；(2)求作；(3)分析；(4)作法；(5)证明； (6)讨论步骤(5)(6)常
3、不作要求，步骤(3)一般不要求，但作图中一定要保留作图痕迹. 考点1：简单尺规作图 【例题1】尺规作图，已知顶角和底边上的高，求作等腰三角形 已知：如图，线段a. 求作：ABC，使ABAC，BAC，ADBC于D，且ADa.【解析】：作图如图，(1)作EAF；(2)作AG平分EAF，并在AG上截取ADa；(3)过D作MNAG，MN与AE，AF分别交于B，C.则ABC即为所求作的等腰三角形归纳：1熟悉五个基本的作图步骤及作图痕迹2平时多体会和理解一些复杂作图的依据及作图过程3会在常见的作图语言与对应的几何语言之间进行转化4提倡在平时画图时，采用尺规作图，强化自己的作图意识和规范性考点2： 复杂尺规
4、作图【例题2】如图，在ABC中，已知ABC90.(1)请在BC上找一点P，作P与AC，AB都相切，与AC的切点为Q；(尺规作图，保留作图痕迹)(2)连接BQ，若AB3，(1)中所作圆的半径为，求sinCBQ.【分析】(1)要求作P与AB、AC相切，根据切线的性质，即点P到AB、AC的距离相等，且点P在边BC上，想到角平分线上的点到角两边的距离相等，即作BAC的平分线交BC于P点，以点P为圆心，PB为半径作圆即可；(2)由切线长定理得ABAQ，又PBPQ，则判定AP为BQ的垂直平分线，利用等角的余角相等得到CBQBAP，然后在RtABP中利用正弦函数求出sinBAP，从而可得到sinCBQ的值解
5、：(1)如图所示，P即为所求：(2)AB、AQ为P的切线，ABAQ，PBPQ，AP为BQ的垂直平分线，BAPABQ90，CBQABQ90，CBQBAP，在RtABP中，AP，sinBAP，sinCBQ考点3： 关于尺规作图的应用【例题3】（2019广西池河8分）如图，AB为O的直径，点C在O上（1）尺规作图：作BAC的平分线，与O交于点D；连接OD，交BC于点E（不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）；（2）探究OE与AC的位置及数量关系，并证明你的结论【分析】（1）利用基本作图作AD平分BAC，然后连接OD得到点E；（2）由AD平分BAC得到BADBAC，由圆周角定理得到B
6、ADBOD，则BODBAC，再证明OE为ABC的中位线，从而得到OEAC，OEAC【解答】解：（1）如图所示；（2）OEAC，OEAC理由如下：AD平分BAC，BADBAC，BADBOD，BODBAC，OEAC，OAOB，OE为ABC的中位线，OEAC，OEAC一、选择题：1. （2018年湖北省宜昌市3分）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（）【答案】B【解答】已知：直线AB和AB外一点C求作：AB的垂线，使它经过点C作法：（1）任意取一点K，使K和C在AB的两旁（2）以C为圆心，CK的长为半径作弧，交AB于点D和E（3）分别以D和E为圆心，大于DE的长为半径作
7、弧，两弧交于点F，（4）作直线CF直线CF就是所求的垂线故选：B2. （2018襄阳）如图，在ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E若AE=3cm，ABD的周长为13cm，则ABC的周长为（）A16cmB19cmC22cmD25cm【答案】B【解答】解：DE垂直平分线段AC，DA=DC，AE=EC=6cm，AB+AD+BD=13cm，AB+BD+DC=13cm，ABC的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm，故选：B3. （2019河北3分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（）ABCD【答案】
8、C【解答】解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心故选：C4. （2019贵阳3分）如图，在ABC中，ABAC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E若AE2，BE1，则EC的长度是（）A2B3CD【答案】D【解答】解：由作法得CEAB，则AEC90，ACABBE+AE2+13，在RtACE中，CE故选：D5. （2018河南）如图，已知AOBC的顶点O（0，0），A（1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：以点O为圆心，
9、适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在AOB内交于点F；作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（）A（1，2）B（，2）C（3，2）D（2，2）【答案】A【解答】解：AOBC的顶点O（0，0），A（1，2），AH=1，HO=2，RtAOH中，AO=，由题可得，OF平分AOB，AOG=EOG，又AGOE，AGO=EOG，AGO=AOG，AG=AO=，HG=1，G（1，2），故选：A二、填空题：6. （2018南京）如图，在ABC中，用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，分别交AB、AC于点D、E，连接DE若BC=10cm，则DE
10、= cm【答案】5【解答】解：用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，D为AB的中点，E为AC的中点，DE是ABC的中位线，DE=BC=5cm故答案为：57. （2019河南3分）如图，在四边形ABCD中，ADBC，D90，AD4，BC3分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O若点O是AC的中点，则CD的长为 .【答案】2【解答】解：如图，连接FC，则AFFCADBC，FAOBCO在FOA与BOC中，FOABOC（ASA），AFBC3，FCAF3，FDADAF431在FDC中，D90，CD2+DF2FC2，CD2+1232，CD28. （20
11、18淮安）如图，在RtABC中，C=90，AC=3，BC=5，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是【答案】【解答】解：连接ADPQ垂直平分线段AB，DA=DB，设DA=DB=x，在RtACD中，C=90，AD2=AC2+CD2，x2=32+（5x）2，解得x=，CD=BCDB=5=，故答案为三、解答题：9. 2.如图，在RtABC中，ACB90. (1)利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹，不写作法) 作AC的垂直平分线，交AB于点O，交AC于点D; 以O为圆心，OA为半径作圆，交OD的
12、延长线于点E. (2)在(1)所作的图形中，解答下列问题. 点B与O的位置关系是_；(直接写出答案) 若DE2，AC8，求O的半径 解：(1)如图所示：(2)连接OC，如图，OD垂直平分AC，OAOC，AACO，AB90，OCBACO90，BOCB，OCOB，OBOA，点B在O上；ODAC，且点D是AC的中点，ADAC4，设O的半径为r，则OAOEr，ODOEDEr2，在RtAOD中，OA2AD2OD2，即r242(r2)2，解得r5.O的半径为510. （2018安徽分） 如图，O为锐角ABC的外接圆，半径为5.（1）用尺规作图作出BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E(保留作图痕迹，不
13、写作法)；（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长.【答案】（1）画图见解析；（2）CE=【解析】【分析】（1）以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别与AB、AC有交点，再分别以这两个交点为圆心，以大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，过点A与这点作射线，与圆交于点E ，据此作图即可；（2）连接OE交BC于点F，连接OC、CE，由AE平分BAC，可推导得出OEBC，然后在RtOFC中，由勾股定理可求得FC的长，在RtEFC中，由勾股定理即可求得CE的长.【详解】（1）如图所示，射线AE就是所求作的角平分线；（2）连接OE交BC于点F，连接OC、CE，AE平分BAC， OE
14、BC，EF=3，OF=5-3=2，在RtOFC中，由勾股定理可得FC=，在RtEFC中，由勾股定理可得CE=.11. （2019江苏泰州8分）如图，ABC中，C90，AC4，BC8（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）若（1）中所作的垂直平分线交BC于点D，求BD的长【分析】（1）分别以A，B为圆心，大于AB为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN即可（2）设ADBDx，在RtACD中，利用勾股定理构建方程即可解决问题【解答】解：（1）如图直线MN即为所求（2）MN垂直平分线段AB，DADB，设DADBx，在RtACD中，AD2AC2+CD2，x242+（8
15、x）2，解得x5，BD512. （2018广东6分）如图，BD是菱形ABCD的对角线，CBD=75，（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，连接BF，求DBF的度数【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可；（2）根据DBF=ABDABF计算即可；【解答】解：（1）如图所示，直线EF即为所求；（2）四边形ABCD是菱形，ABD=DBC=ABC=75，DCAB，A=CABC=150，ABC+C=180，C=A=30，EF垂直平分线线段AB，AF=FB，A=FBA=30，DBF=AB
16、DFBE=4513. （2019湖北孝感8分）如图，RtABC中，ACB90，一同学利用直尺和圆规完成如下操作：以点C为圆心，以CB为半径画弧，交AB于点G；分别以点G、B为圆心，以大于GB的长为半径画弧，两弧交点K，作射线CK；以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N；分别以点M、N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线BP交AC的延长线于点D，交射线CK于点E请你观察图形，根据操作结果解答下列问题；（1）线段CD与CE的大小关系是CDCE；（2）过点D作DFAB交AB的延长线于点F，若AC12，BC5，求tanDBF的值 【分析】（1）由作图知CEAB，BD平分CBF，据此得123，结合CEB+32+CDE90知CEBCDE，从而得出答案；（2）证BCDBFD得CDDF，从而设CDDFx，求出AB13，知sinDAF，即，解之求得x，结合BCBF5可得答案【解答】解：（1）CDCE，由作图知CEAB，BD平分CBF，123，CEB+32+CDE90，CEBCDE，CDCE，故答案为：CDCE；（2）BD平分CBF，BCCD，BFDF，BCBF，CBDFBD，在BCD和BFD中，BCDBFD（AAS），CDDF，设CDDFx，在RtACB中，AB13，sinDAF，即， 解得x，BCBF5，tanDBF