1、石室中学高2013届三诊模拟试题（理科）（时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求请将你认为正确的选项答在指定的位置上。）1已知集合,则( )ABCD2设（是虚数单位），则 ( )A B C D 3.若多项式，则 （ ） 4一个几何体的三视图如右图所示,且其左视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为( )A BC D5设，且，则z的最小值是（ ）A. B. C. D. 6.若为不等式组 表示的平面区域，则当从连续变化到时，动直线扫过中的那部分区域的面积为 ( ) xABPyOA. B. 1 C. D. 2
2、7函数的部分图象如右图所示,设是图象的最高点,是图象与轴的交点,记,则的值是( )A B C D8下列命题中:“”是“”的充要条件; 若“”，则实数的取值范围是;已知平面，直线，若，则函数的所有零点存在区间是.其中正确的个数是( )A1B2 C3 D49.某教师一天上3个班级的课,每班一节,如果一天共9节课,上午5节、下午4节,并且教师不能连上3节课(第5和第6节不算连上),那么这位教师一天的课的所有排法（ ）A474种 B. 77种 C462种 D79种10已知函数，方程有四个实数根，则的取值范围为( ) A B C D 二、填空题（本题共5道小题，每题5分，共25分；将答案直接答在答题卷上
3、指定的位置）11从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A“取到的2个数之和为偶数”，事件B“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于 12下图给出了一个程序框图,其作用是输入的值,输出相应的值若要使输入的值与输出的值相等,则这样的值有_个.13已知在平面直角坐标系中，为原点，且（其中均为实数），若N（1，0），则的最小值是 ；14.已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于、两点，若,则双曲线的离心率为 15.设函数的定义域为，若存在非零实数满足，均有，且，则称为上的高调函数如果定义域为的函数是奇函数，当时，且为上的高调函数，那么实数的取值范围是 .三、解答题（本大题共75分，解答应写
4、出文字说明，证明过程或演算步骤）：16.（本小题满分12分）已知向量,函数(1)求函数的最小正周期T及单调减区间;(2)已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，,且.求A，的长和ABC的面积.17.（本题满分12分）如图，为圆的直径，点、在圆上，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且，.（）求证：平面；（）求三棱锥的体积；（III）求二面角的大小.18（本小题满分12分）小王参加一次比赛,比赛共设三关,第一、二关各有两个必答题,如果每关两个问题都答对,可进入下一关,第三关有三个问题,只要答对其中两个问题,则闯关成功.每过一关可一次性获得价值分别为1000元,3000元,
5、6000元的奖品(不重复得奖),小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为,且每个问题回答正确与否相互独立.(1)求小王过第一关但未过第二关的概率; (2)用X表示小王所获得奖品的价值,写出X的概率分布列,并求X的数学期望.19.（本小题满分12分）各项均为正数的数列前项和为,且.(1)求数列的通项公式;(2)已知公比为的等比数列满足，且存在满足,求数列的通项公式.20.（本小题满分13分）已知椭圆的长轴长是短轴长的两倍，焦距为.(1)求椭圆的标准方程;(2)设不过原点的直线与椭圆交于两点、，且直线、的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围.21（本小题满分14分）已知，且直线与曲线相切（1）若对
6、内的一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，求最大的正整数，使得对（是自然对数的底数）内的任意个实数都有成立；（3）求证：三诊模拟参改答案(理科)1-10:ABDBB CACAB11-15: ,3, ,16.（本小题满分12分）已知向量,函数(1)求函数的最小正周期T及单调减区间;(2)已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，,且.求A，的长和ABC的面积.16.解析：(1)（2分） （4分）单调递减区间是 （6分）(2); 8分） （10分）. （12分）17.（本题满分12分）如图，为圆的直径，点、在圆上，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且，.（）
7、求证：平面；（）求三棱锥的体积；理（III）求二面角的大小.17（）证明：平面平面，,平面平面，平面， AF在平面内， 3分又为圆的直径， 平面. 6分（）解：由（1）知即，三棱锥的高是，,8分连结、，可知为正三角形，正的高是，10分，10分（III）求二面角的大小为.1218理.（本小题满分12分）小王参加一次比赛,比赛共设三关,第一、二关各有两个必答题,如果每关两个问题都答对,可进入下一关,第三关有三个问题,只要答对其中两个问题,则闯关成功.每过一关可一次性获得价值分别为1000元,3000元,6000元的奖品(不重复得奖),小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为,且每个问题回答正确与否
8、相互独立.(1)求小王过第一关但未过第二关的概率; (2)用X表示小王所获得奖品的价值,写出X的概率分布列,并求X的数学期望.18.解析：(1)设小王过第一关但未过第二关的概率为P1,则P12. （4分）(2)X的取值为0,1000,3000, 6000,则P(X0),P(X1000)2, P(X3000)22,P(X6000)22,X的概率分布列为X0100030006000P（10分）.X.X.KX的数学期望EX01000300060002160. （12分）19.（本小题满分12分）各项均为正数的数列前项和为,且.(1)求数列的通项公式;(2)已知公比为的等比数列满足，且存在满足,求数列
9、的通项公式.19.解析：(1)，两式相减得：，（2分）即，（4分）为首项为1，公差为2的等差数列，故（6分）(2)，依题意得，相除得（8分），代入上式得q=3或q=7，（10分）或.（12分）20.（本小题满分13分）已知椭圆的长轴长是短轴长的两倍，焦距为.(1)求椭圆的标准方程;(2)设不过原点的直线与椭圆交于两点、，且直线、的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围.20.（本小题满分13分）已知椭圆的长轴长是短轴长的两倍，焦距为.(1)求椭圆的标准方程;(2)设不过原点的直线与椭圆交于两点、，且直线、的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围.20.解析:(1)由已知得 方程： （4分）(2)由
10、题意可设直线的方程为： 联立 消去并整理，得：则 ,此时设、于是 （7分）又直线、的斜率依次成等比数列， 由 得： .又由 得：显然 （否则：，则中至少有一个为0，直线、 中至少有一个斜率不存在，矛盾！） （10分）设原点到直线的距离为,则故由得取值范围可得面积的取值范围为（13分）21理.（本小题满分14分）已知，且直线与曲线相切（1）若对内的一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，求最大的正整数，使得对（是自然对数的底数）内的任意个实数都有成立；（3）求证：21.解：（1）设点为直线与曲线的切点，则有 （*）， （*）由（*）、（*）两式，解得， 由整理，得，要使不等式恒成立，必须恒成立 设， 当时，则是增函数，是增函数， 因此，实数的取值范围是 （2）当时，在上是增函数，在上的最大值为要对内的任意个实数都有成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，当时不等式左边取得最大值，时不等式右边取得最小值，解得因此，的最大值为 （3）证明：当时，根据（1）的推导有，时，即 令，得， 化简得，