1、第4讲 直线与圆的位置关系知识梳理1.判断直线与圆的位置关系有两种方法：几何法：通过圆心到直线的距离与半径的大小比较来判断，设圆心到直线的距离为，圆半径为，若直线与圆相离，则；若直线与圆相切，则；若直线与圆相交，则 代数法：通过直线与圆的方程联立的方程组的解的个数来判断，即通过判别式来判断，若，则直线与圆相离；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相交2.两圆的的位置关系 (1)设两圆半径分别为，圆心距为d 若两圆相外离，则 ，公切线条数为4 若两圆相外切,则，公切线条数为3 若两圆相交，则，公切线条数为2若两圆内切，则，公切线条数为1若两圆内含，则，公切线条数为0(2) 设两圆，若两圆相交，则两
2、圆的公共弦所在的直线方程是3. 相切问题的解法：利用圆心到切线的距离等于半径列方程求解利用圆心、切点连线的斜率与切线的斜率的乘积为-1利用直线与圆的方程联立的方程组的解只有一个，即来求解。特殊地,已知切点,圆的切线方程为,圆的切线方程为4.圆系方程以点为圆心的圆系方程为过圆和直线的交点的圆系方程为 过两圆，的交点的圆系方程为（不表示圆）重难点突破重点:根据给定的方程判定直线与圆、圆与圆的位置关系； 利用直线和圆、圆与圆的位置关系的充要条件解决一些简单的问题；难点:借助数形结合,利用圆的几何性质,将题目所给条件转化为圆心到直线的距离、两圆的连心线或半径的和与差重难点:将方程的理论与圆的几何性质相
3、结合,并加以运用1、把握直线与圆的位置关系的三种常见题型：相切求切线相交求距离相离求圆上动点到直线距离的最大（小）值；问题1：直线与圆相切，则实数等于 【解析】圆心为，半径为，或2、解决直线与圆的位置关系问题用到的思想方法有：数形结合，善于观察图形，充分运用平面几何知识，寻找解题途径等价转化，如把切线长的最值问题转化为圆外的点到圆心的距离问题，把公切线的条数问题转化为两圆的位置关系问题，把弦长问题转化为弦心距问题等待定系数法，还要合理运用“设而不求”，简化运算过程3、圆与圆的位置关系转化为圆心距与两圆半径之和或半径之差的关系公共弦满足的条件是：连心线垂直平分公共弦热点考点题型探析考点1 直线与
4、圆的位置关系 题型1: 判断直线与圆的位置关系例1 （2005北京海淀）设m0，则直线（x+y）+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为A.相切 B.相交C.相切或相离 D.相交或相切解析圆心到直线的距离为d=，圆半径为.dr=（m2+1）=（1）20，直线与圆的位置关系是相切或相离.所以选C【名师指引】判断直线与圆的位置关系的两种方法(代数法、几何法)中，几何法更简便题型2:求解圆的切线、弦长问题 例2 已知圆,是轴上的动点,、分别切圆于两点(1)若点的坐标为（1，0），求切线、的方程(2)求四边形的面积的最小值(3)若，求直线的方程【解题思路】(2)用一个变量表示四边形的面积(3)从图形
5、中观察点满足的条件解析：（1）设过点的圆的切线方程为，则圆心到切线的距离为1，或0，切线、的方程分别为和（2），（3）设与交于点，则，在中，即设，则直线的方程为或【名师指引】转化是本题的关键，如：第2问把切线长转化为圆外一点到圆心的距离；第3问把弦长转化为圆心到弦所在直线的距离，再利用射影定理转化为圆外一点到圆心的距离。弦长、切线长问题经常要这种转化例3 已知圆C：（x1）2（y2）225，直线l：（2m+1）x+（m+1）y7m4（mR）.（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程. 解析（1）解法1：l的方程（x+y4）+m（2x+y7）
6、=0.mR，得 2x+y7=0， x=3，x+y4=0， y=1，即l恒过定点A（3，1）.圆心C（1，2），AC5（半径），点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.解法2：圆心到直线的距离，所以直线l恒与圆C相交于两点（2）弦长最小时，lAC，由kAC，l的方程为2xy5=0.【名师指引】明确几点：（1）动直线斜率不定，可能经过某定点（2）直线与圆恒有公共点直线经过的定点在圆内，此结论可推广到圆锥曲线（3）过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦题型3: 圆上的点到直线的距离问题 例4 已知圆和直线，（1）若圆上有且只有4个点到直线l的的距离等于1，求半径的取值范围；（2）若
7、圆上有且只有3个点到直线l的的距离等于1，求半径的取值范围；（3）若圆上有且只有2个点到直线l的的距离等于1，求半径的取值范围；【解题思路】解法1采用转化为直线与圆的交点个数来解决；解法2从劣弧的点到直线l的最大距离作为观察点入手解法1：与直线平行且距离为1的直线为和，圆心到直线的的距离为,圆心到直线的的距离为,（1）圆上有且只有4个点到直线l的的距离等于1（2）圆上有且只有3个点到直线l的的距离等于1（3）圆上有且只有2个点到直线l的的距离等于1解法2：设圆心到直线l的距离为，则（1）圆上有且只有4个点到直线l的的距离等于1，（2）圆上有且只有3个点到直线l的的距离等于1，（3）圆上有且只有
8、2个点到直线l的的距离等于1【名师指引】将圆上到直线l的距离等于1的点的个数转化为两条直线与圆的交点个数,是一种简明的处理方法，对解决这类问题特别有效【新题导练】1. (山东省威海市 2008年普通高中毕业年级教学质量检测)在下列直线中，是圆的切线的是（ ）Ax=0By=0Cx=yDx=y解析B. 圆心为，半径为1，切线为y=02. (08山东省临沂市期中考)的位置关系是（ ）A相离 B相切 C相交 D不能确定解析A. 圆心到直线的距离为,直线与圆相离3. 已知直线与圆，则上各点到的距离的最大值与最小值之差为_解析: 距离的最大值与最小值之差为4、(山东省德州市2008届高中三年级教学质量检测
9、)已知向量若与的夹角为，则直线与圆的位置关系是D A相交但不过圆心 B相交过圆心 C相切 D相离解析D. ，圆心到直线的距离为，故直线与圆相离5. (广东省普宁市华侨中学2009届高三第三次练兵考试)直线被圆截得的弦长为_。【解析】. 直线为，圆心到直线的距离，弦长的一半为，得弦长为 6.(2008届广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校联考)若函数的图像在处的切线l与圆相离，则点与圆的位置关系是（）A在圆外 B在圆内 C在圆上 D不能确定解析B. ，切线l的方程为即，圆心到切线l的距离为，点在圆内7.已知圆M：（xcosq）2（ysinq）21，直线l：ykx，下面四个命题：对任意实
10、数k与q，直线l和圆M相切；对任意实数k与q，直线l和圆M有公共点；对任意实数q，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切对任意实数k，必存在实数q，使得直线l与和圆M相切其中真命题的代号是_（写出所有真命题的代号）解析 圆心坐标为（cosq，sinq）d 8. 已知M（x0，y0）是圆x2+y2=r2（r0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=r2与此圆有何种位置关系?解析:圆心O（0，0）到直线x0x+y0y=r2的距离为d=.P（x0，y0）在圆内，r，故直线和圆相离.9. 已知圆和点,若点在圆上且的面积为,则满足条件的点的个数是A.1 B.2 C.3 D.4解析: 3由的面积为知,点到
11、直线的距离为1, 直线的方程为,与直线平行且距离为1的直线为和，圆心到直线的的距离为,圆心到直线的的距离为,所以圆与直线相切与直线相交, 满足条件的点的个数是310自点A（3，3）发出的光线射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2y24x4y70相切，求光线所在直线的方程. 解析：圆（x2）2（y2）21关于x轴的对称方程是（x2）2（y2）21.设l方程为y3k（x3），由于对称圆心（2，2）到l距离为圆的半径1，从而可得k1，k2故所求l的方程是3x4y30或4x3y30.考点2 圆与圆的位置关系 题型:利用圆与圆位置关系的充要条件, 判断两圆的位置关系或求圆的方程例4 求与圆
12、外切于点，且半径为的圆的方程解析：设所求圆的圆心为，则解得：，所求圆的方程为解法2：设所求圆的圆心为，由条件知，所求圆的方程为【名师指引】（1）本题采用待定系数法求圆心的坐标，步骤是：寻找圆心满足的条件；列出方程组求解（2）解法2利用向量沟通两个圆心的位置关系，既有共线关系又有长度关系，显得更简洁明快，值得借鉴。【新题导练】11.已知两圆相交于两点,两圆圆心都在直线上,则的值是( )A-1 B2 C3 D0解析:3两点关于直线对称, 线段的中点(3,1)在直线上,12. 若圆始终平分圆的周长,则实数应满足的关系是( )A B C D解析B公共弦所在的直线方程为圆始终平分圆的周长圆的圆心在直线上
13、即13. 在平面内,与点距离为1, 与点距离为2的直线共有( )条 A.1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条解析：B 直线与点距离为1，所以直线是以A为圆心1为半径的圆的切线，同理直线也是以B为圆心2为半径的圆的切线，即两圆的公切线，两圆相交，公切线有2条考点3 与圆有关的轨迹问题 例5 已知点P是圆x2+y2=4上一动点，定点Q（4，0）.（1）求线段PQ中点的轨迹方程；（2）设POQ的平分线交PQ于R，求R点的轨迹方程.解析（1）设PQ中点M（x，y），则P（2x4，2y），代入圆的方程得（x2）2+y2=1.（2）设R（x，y），由=，设P（m，n），则有m=，n=，代入x2+y2=
14、4中，得（x）2+y2=（y0）.【名师指引】（1）本题用了相关点转移法求轨迹，该法的核心是找到未知与已知动点之间的坐标关系（2）处理“角平分线”问题，一般有以下途径：转化为对称问题利用角平分线性质，转化为比例关系利用夹角相等【新题导练】14.由动点向圆引两条切线,切点分别为,则动点的轨迹方程为 解析 在中, ,动点的轨迹是以原点为圆心,2为半径的圆,方程为15. 过圆内一点作一弦交圆于两点,过点分别作圆的切线,两切线交于点,则点的轨迹方程为A B C D解析B 设,过点的切线方程为,过点的切线方程为,而两切线都过点,直线的方程为,直线经过点,换为得抢分频道基础巩固训练1、将圆按向量平移后,恰
15、好于直线相切,则实数的值为A B C D 解析B 平移后圆的方程为,则2、(2007天津)圆关于直线对称的圆的方程是（） 解析 的圆心为(1,0),半径为，选CyxOAB3、(2008山东济宁模拟)已知曲线，点及点，以点观察点，要使视线不被曲线挡住，则的取值范围是（ ）A B C D 解析 A 由图可以得到切线AB的斜率为4、直线与圆交于、两点，且、关于直线对称，则弦的长为 解析 4由直线与直线垂直得m=2,由圆心在直线上得n=-2；5、已知圆C1：相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为 。解析 x+y-3=0 即两圆的连心线6、方程ax2+ay24（a1）x+4y=0表示圆，求a的取值范
16、围，并求出其中半径最小的圆的方程.解析（1）a0时，方程为x2+（y+）2=，由于a22a+20恒成立，a0且aR时方程表示圆.（2）r2=4=42()2+，a=2时，rmin2=2.此时圆的方程为（x1）2+（y1）2=2.综合提高训练7、过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为A. B. C. D. 解析A. 以线段为直径的圆的方程为，经过两切点的直线就是两圆的公共弦所在的直线，将两圆的方程相减得，这就是经过两切点的直线方程8、已知点A（2，0），B（2，0），曲线C上的动点P满足，（1）求曲线C的方程；（2）若过定点M（0，2）的直线l与曲线C有交点，求直线l的斜率k的取值范围
17、；（3）若动点Q（x，y）在曲线C上，求的取值范围.解析（1）设P（x，y），得P点轨迹(曲线C)方程为，即曲线C是圆.（2）可设直线l方程为，其一般方程为：，6分由直线l与曲线C有交点，得，得，即所求k的取值范围是; （3）由动点Q（x，y），设定点M（0，2），则直线QM的斜率为：，又点Q在曲线C上，故直线QM与圆有交点，由（2）结论，得kQM的取值范围是，u的取值范围是.9、直线与抛物线交于两点，过两点的圆与抛物线在点处有共同的切线，求圆的方程解析由 得点的坐标分别是（6，9）、（4，4）, 由 得 所以抛物线 在点处切线的斜率为, 设圆的圆心为, 方程是则解得 则圆的方程是 (或10、
18、（08江苏泰州联考）如图，已知圆心坐标为的圆与轴及直线分别相切于、两点，另一圆与圆外切、且与轴及直线分别相切于、两点（1）求圆和圆的方程；（2）过点B作直线的平行线，求直线被圆截得的弦的长度解析（1）由于M与BOA的两边均相切，故M到OA及OB的距离均为M的半径，则M在BOA的平分线上，同理，N也在BOA的平分线上， 即O，M，N三点共线，且OMN为BOA的平分线，M的坐标为，M到轴的距离为1，即M的半径为1，则M的方程为，设N的半径为，其与轴的的切点为C，连接MA、MC，由RtOAMRtOCN可知，OM：ON=MA：NC， 即， 则OC=，则N的方程为；（2）由对称性可知，所求的弦长等于过A
19、点直线MN的平行线被截得的弦的长度，此弦的方程是，即：，圆心N到该直线的距离d=，则弦长=参考例题:1. （华南师大附中20072008学年第一学期高三期末水平测试） 已知直线交于A、B两点，过A、B两点的圆与抛物线在A（其中A点在y轴的右侧）处有共同的切线. （1）求圆M的方程； （2）若圆M与直线y=mx交于P、Q两点，O为坐标原点，求证：为定值. 解析（1）由 抛物线在A处的切线斜率为，设圆的方程为，由切线性质得 又圆心在AB的中垂线上，即 由得圆心圆M的方程为 （2）由设，又， 2. (山东省德州市2008届高中三年级教学质量检测)如图所示，过圆与轴正半轴的交点A作圆的切线，M为上任意一点，再过M作圆的另一切线，切点为Q，当点M在直线上移动时，求三角形MAQ的垂心的轨迹方程解析设边上的高为边上的高为，连接当时，48在上10当时，此时垂心为点B，也满足方程.而点M与点N重合时，不能使A，M，Q构成三角形，故的垂心的轨迹方程为123.已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点， 求的内接圆的方程；解法一：设两点坐标分别为，由题设知解得，所以，或，设圆心的坐标为，则，所以圆的方程为解法二：设两点坐标分别为，由题设知又因为，可得即由，可知，故两点关于轴对称，所以圆心在轴上设点的坐标为，则点坐标为，于是有，解得，所以圆的方程为