1、章末综合测评(三)指数函数和对数函数(时间120分钟,满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1下列各式正确的是()A.Blog273C.Da01【解析】A中,B中log27log3,C中,D中当a0时,a01,故选C.【答案】C2下列函数与yx有相同图像的一个函数是()AyByCyalogax(a0且a1)Dylogaax【解析】yx的定义域为R,A中y|x|,不相同,B中函数y的定义域为x|x0,不相同,C中yalogax的定义域为(0,)不相同,D中ylogaaxx,定义域为R,故与yx相同【答案】D30.32
2、,log20.3,20.3三个数的大小关系为()A0.3220.3log20.3B0.32log20.320.3Clog20.30.3220.3Dlog20.320.30.32【解析】0.320.09,log20.30,20.31,log20.30.3220.3.【答案】C4函数y的值域是()A3,3B(,3C(0,3D3,)【解析】x22x(x1)211,yx为减函数,13.又yx22x0,故0y3.【答案】C5函数f(x)是定义在R上的奇函数,并且当x(0,)时,f(x)lnx,那么,f(e2)()A2B2C1D无法确定【解析】因为f(x)为奇函数,故f(e2)f(e2)lne22.【答案
3、】A6(2016天津市南开大附中高一期中)函数f(x)log(x24)的单调递增区间为()A(0,)B(,0)C(2,)D(,2)【解析】令tx240,可得x2,或x1,则x0的取值范围是()A(,0)(2,)B(0,2)C(,1)(3,)D(1,3)【解析】当x02时,f(x0)1,log2(x01)1,即x03;当x01得x011,x01,x0f(1),则x的取值范围是()A(2,) B.(2,)C.D(0,1)(2,)【解析】因为f(x)为偶函数,在0,)上为增函数且f(log2x)f(1),所以|log2x|1,即log2x1或log2x2或0x.【答案】B10已知loga(3a1)恒
4、为正数,那么实数a的取值范围是()Aa B.1 D.a1【解析】当a1时,由3a11得a,所以a1;当0a1时,由03a11,解得a,故a的取值范围为a1.【答案】D11函数f(x)lg(|x|1)的大致图像是()【解析】函数f(x)lg(|x|1),f(x)lg(|x|1)f(x),f(x)是偶函数当x0时,f(x)lg(x1)先作出lg x的图像,再向右平移1个单位,根据偶函数图像的性质,将所作出图像关于y轴对称,答案为B.【答案】B12某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物,大门的地面宽度为8 m,两侧距离地面3 m高处各有一个壁灯,两壁灯之间的水平距离为6 m,如图1所示,则厂门的高约为(
5、水泥建筑物厚度忽略不计,精确到0.1 m)()图1A6.9 mB7.0 mC7.1 mD6.6【解析】建立如图所示的坐标系,于是由题设条件知抛物线的方程为yax2(a0),设点A的坐标为(4,h),则C(3,3h),将这两点的坐标代入yax2,可得解得所以厂门的高约为6.9 m.【答案】A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13(2016辽宁沈阳铁路实验中学高一月考)已知yf(x)x2是奇函数,且f(1)1,若g(x)f(x)2,则g(1)_.【解析】yf(x)x2是奇函数,且f(1)1,f(1)(1)2f(1)12,f(1)3.因此g(1)f(1)21.
6、【答案】114已知f(x)log3x的值域是1,1,那么它的反函数的值域为_【解析】1log3x1,log3log3xlog33,x3.f(x)log3x的定义域是,f(x)log3x的反函数的值域是.【答案】15(2014全国卷)设函数f(x)则使得f(x)2成立的x的取值范围是_【解析】当x1时,x10,ex1e012,当x0时,f(x)2x,当x0时,f(x)2x.而log20,f223.【答案】3三、解答题(本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明,证明过程或演变步骤)17(本小题满分10分)(1)化简:12;(2)计算:lg lg lg .【解】(1)原式abaaba.(2)原式(
7、lg 32lg 49)lg 2lg 245(5lg 22lg 7)lg 2lg 7lg 5lg 2lg 52lg 2lg 2lg 5.18(本小题满分12分)(2016江西南昌二中高一期中)已知f(x)是奇函数(1)求实数m的值;(2)判断函数f(x)在(,1)上的单调性,并加以证明. 【导学号:04100071】【解】(1)f(x)是奇函数,f(x)f(x),即,从而m0.(2)f(x)在(,1)上是单调增函数证明:f(x),任取x1x21,则f(x1)f(x2).x1x21,x1x20,x1x20,f(x1)f(x2)0,恒成立,求实数m的取值范围【解】(1)法一:由于f(x)是奇函数,则
8、f(x)f(x)0对于任意的xR都成立,即0得0,可得1a2x2xa0,即(a1)(2x1)0,因为2x0,则a10,解得a1.法二:f(x)为R上的奇函数f(0)f(0),即f(0)0.0,a1.经检验a1时,f(x)为奇函数(2)设x1,x2R,且x1x2,f(x2)f(x1),因为x1x2,所以02x12x2,所以2x12x20,2x110,从而f(x2)f(x1)0,即f(x2)0可得:ff(1),因为f(x)是奇函数,所以ff(1),又因为f(x)在R上是减函数,所以logm1,解得0m1,故m的取值范围是(1,)22(本小题满分12分)(2016江西南昌二中高一期中)已知函数f(x
9、)x,函数g(x)logx.(1)若g(mx22xm)的定义域为R,求实数m的取值范围;(2)当x1,1时,求函数yf(x)22af(x)3的最小值h(a);(3)是否存在非负实数m、n,使得函数ylogf(x2)的定义域为m,n,值域为2m,2n,若存在,求出m、n的值;若不存在,则说明理由【解】(1)g(x)logx,yg(mx22xm)log (mx22xm)令umx22xm,则ylogu.当m0时,u2x,ylog2x的定义域为(0,),不成立;当m0时,ylogu的定义域为R,解得m1,综上所述,m1.(2)yf(x)22af(x)32x2ax32ax3,x1,1令tx,则t,yt22at3,t,2对称轴为ta,当a时,t时,h(a)ymina;当a2时,ta时,h(a)ymin3a2;当a2时,t2时,h(a)ymin74a.综上所述,h(a)(3)ylogf(x)2logx2x2,假设存在,由题意,知解得存在m0,n2,使得函数ylogf(x2)的定义域为0,2,值域为0,4