1、第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数授课提示：对应学生用书第50页基础梳理1任意角的概念(1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角正角：按逆时针方向旋转形成的角；负角：按顺时针方向旋转形成的角；零角：如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角(2)终边相同角：与终边相同的角可表示为：|2k，kZ2弧度与角度的互化(1)1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角(2)角的弧度数公式：|(3)角度与弧度的换算：3602 rad，1 rad，1 rad()5718.(4)扇形的弧长及面积公式：弧长公式：lr面积公式：Slrr2.3任意角的三角函数(1)定义：设是一个任意角
2、，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin y，cos x，tan (x0)(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0)如图中有向线段MP，OM，AT分别叫作角的正弦线、余弦线和正切线4终边相同的角的三角函数sin(k2)sin_，cos(k2)cos_，tan(k2)tan_(其中kZ)，即终边相同的角的同一三角函数的值相等1一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦2两个关注点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度(2)在同一个问题中采用的度量制度必须一致，不
3、能混用3三角函数定义的推广设点P(x，y)是角终边上任意一点且不与原点重合，r|OP|，则sin ，cos ，tan .4四种角的终边关系(1)，终边相同2k，kZ.(2)，终边关于x轴对称2k，kZ.(3)，终边关于y轴对称2k，kZ.(4)，终边关于原点对称2k，kZ.四基自测1(基础点：弧长公式)单位圆中，200的圆心角所对的弧长为()A10B9C. D答案：D2(易错点：终边相同的角的概念)下列与的终边相同的角的表达式中正确的是()A2k45(kZ)Bk360(kZ)Ck360315(kZ) Dk(kZ)答案：C3(基础点：象限符号)若角满足tan 0，sin 0，则角所在的象限是()
4、A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案：C4(基础点：三角函数定义)已知角的终边过点(4，3)，则cos sin _答案：授课提示：对应学生用书第51页考点一终边相同的角及象限角挖掘1求写终边相同的角或区域角/ 自主练透例1(1)(2020福州模拟)与2 010终边相同的最小正角是_解析因为2 010(6)360150，所以150与2 010终边相同，又终边相同的两个角相差360的整数倍，所以在0360中只有150与2 010终边相同，故与2 010终边相同的最小正角是150.答案150(2)用角的集合表示下面各区域角(阴影部分)解析射线yx表示的终边，y轴上半轴表示的终边，其区域角
5、为|2k2k，kZx轴正半轴表示0的终边，其区域角为|kk，kZ|kk，kZ|kk，kZ破题技法1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角2表示区间角的三个步骤(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的360360范围内的角和，写出最简区间(3)起始、终止边界对应角，再加上360的整数倍，即得区间角集合挖掘2已知角的象限，求分角的象限/ 自主练透例2已知sin 0，cos 0，则所在的象限是()A第一象限B第三象限C第一或第三象限 D第二或第四象限解析因为
6、sin 0，cos 0，所以为第二象限角，即2k2k，kZ，则kk，kZ.当k为偶数时，为第一象限角；当k为奇数时，为第三象限角，故选C.答案C破题技法象限角的两种判断方法(1)图像法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角(2)转化法：先将已知角化为k360(0360，kZ)的形式，即找出与已知角终边相同的角，再由角终边所在的象限判断已知角是第几象限角拓展求或n(nN)所在象限的方法(1)将的范围用不等式(含有k)表示(2)两边同除以n或乘以n.(3)对k进行讨论，得到或n(nN)所在的象限考点二扇形弧长、面积公式的应用挖掘求扇形的弧长、面积、圆心角、半径
7、/ 自主练透例(1)(2020合肥模拟)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一方田三三：“今有宛田，下周三十步，径十六步问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，则这块田的面积为()A120平方步B240平方步C360平方步 D480平方步解析由题意可得：S830120(平方步)答案A(2)(2020太原模拟)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是()A2 Bsin 2C. D2 sin 1解析如图：AOB2弧度，过O点作OCAB于C，并延长OC交弧AB于D.则AODBOD1弧度，且ACAB1，在RtAOC中，AO，即
8、r，从而弧AB的长为lr.答案C(3)(2020成都模拟)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是_解析设圆的半径为R，则圆内接正方形的边长为R，因此该圆心角的弧度数是.答案(4)若扇形的周长为20，当扇形所在圆的半径为_时，扇形面积最大，最大值为_解析由题意知，l2r20，即l202r，故S扇lr(202r)r(r5)225，当r5时，S的最大值为25.答案525破题技法应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，
9、要合理地利用圆心角所在的三角形考点三三角函数的定义挖掘1用三角函数的定义求值/ 互动探究例1(1)(2020大同模拟)已知角的终边经过点P(x，6)，且cos ，则x的值为_解析cos ，解得x.答案(2)已知角的终边在直线y3x上，则10sin 的值为_解析设终边上任一点为P(k，3k)，则r|k|.当k0时，rk，sin ，10sin 330；当k0时，rk，sin ，10sin 330.答案0破题技法1.利用角终边上一点的坐标求三角函数值，由于点P象限不定，故讨论象限位置2已知角的终边求三角函数值，其关键点为：(1)已知角终边上点P的坐标求P到原点的距离利用三角函数定义求解(2)已知角终
10、边所在的直线方程根据象限位置，设出的终边上点P的坐标利用三角函数定义求解挖掘2三角函数值符号的判断/ 自主练透例2(1)(2020怀化模拟)sin 2cos 3tan 4的值()A小于0 B大于0C等于0 D不存在解析2340，cos 30.sin 2cos 3tan 40.答案A(2)已知点P(cos ，tan )在第三象限，则角的终边在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析由题意可得则所以角的终边在第二象限，故选B.答案B破题技法判断三角函数值符号的关键点(1)确定的终边所在的象限位置(2)根据终边上P的坐标符号：正弦值与纵坐标同号，余弦值与横坐标同号；横纵坐标同号，正切值为
11、正；异号正切值为负考点四三角函数线的应用例(1)(2020石家庄模拟)若，从单位圆中的三角函数线观察sin ，cos ，tan 的大小是()Asin tan cos Bcos sin tan Csin cos tan Dtan sin OMMP，故有sin cos tan .答案C (2)(2018高考北京卷)在平面直角坐标系中，是圆x2y21上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角以Ox为始边，OP为终边若tan cos sin ，则P所在的圆弧是()A. B.C. D解析由题知四段弧是单位圆上的第一、二、三象限的弧，在上，tan sin ，不满足；在上，tan sin ，不满足；在上，si
12、n 0，cos 0，tan 0，且cos tan ，满足；在上，tan 0，sin 0，cos 0，不满足答案C(3)y 的定义域为_ 解析sin x，作直线y交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角x的终边的范围，故满足条件的角x的集合为.答案破题技法1.利用三角函数线可求特殊角的三角函数值如sin 0MP0，cos 0OM1，tan 00.sinMP1，cosOM0.sin MP0，cos OM1.2判断三角函数值符号如：若在第一象限，sin MP与y轴方向一致，为正；cos OM与x轴方向一致，为正；若在第二象限，sin MP与y轴方向一致，为正；cos OM与x轴方向相反，为负3研究三角函数定义域如sin ，cos 不论终边在何处，MP、OM都有意义，故R；而tan ，当时，作不出正切线，故k(kZ)若(0，)，tan 、sin 及的大小如何？答案：tan sin