1、章末综合测评(二)(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上)1.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，若f(x0)0，则xx0是函数f(x)的极值点.因为f(x)x3在x0处的导数值f(0)0，所以x0是f(x)x3的极值点.以上推理中_错误.【解析】大前提是错误的，若f(x0)0，xx0不一定是函数f(x)的极值点.【答案】大前提2.下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为_.图1【解析】由图形可知，着色三角形的个数依次为：1,3,9,27，故an3n-1.【答案】3
2、n-13.(2016日照联考)已知f(n)1(nN*)，计算得f(22)2，f(23)，f(24)3，f(25)，由此推测，当n2时，有_.【解析】因为f(22)，f(23)，f(24)，f(25)，所以推测，当n2时，f(2n).【答案】f(2n)4.已知圆x2y2r2(r0)的面积为Sr2，由此类比椭圆1(ab0)的面积最有可能是_.【解析】将圆看作椭圆的极端情况，即ab情形.类比S圆r2，得椭圆面积Sab.【答案】ab5.已知a0，b0，mlg，nlg，则m与n的大小关系为_.【解析】()2ab2ab0，0，则.lglg，则mn.【答案】mn6.已知数列an为等差数列，数列bn是各项均为
3、正数的等比数列，且公比q1，若a1b1，a2 013b2 013，则a1 007与b1 007的大小关系是_.【解析】由2a1 007a1a2 013，得a1 007.又bb1b2 013，得b1 007，a1b10，a2 013b2 0130，且a1a2 013，a1 007b1 007.【答案】a1 007b1 0077.已知x，yR，且xy2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为_.【解析】x，y中至少有一个大于1，表示有一个大于1或两个都大于1，反设x，y两个都不大于1.【答案】x，y都不大于1(或者x1且y1)8.在古希腊，毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,2
4、1,28,36,45,55，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成正三角形(如图2所示)，则三角形数的一般表达式f(n)_.图2【解析】n1时，1；n2时，3；n3时，6，则f(n).【答案】9.如图3，将全体正整数排成一个三角形数阵：图3根据以上排列规律，数阵中第n(n3)行从左到右的第三个数是_.【解析】前n-1行共有正整数123(n-1)个，第n行第3个数是3.【答案】10.(2016东北三校二模)观察下列等式：1312,132332,13233362,13233343102，根据上述规律，第n个等式为_.【解析】由题知1312；13232；1323332；132333432；
5、13233343n32.【答案】13233343n3211.已知点A(x1,3x1)，B(x2,3x2)是函数y3x的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有结论3成立.运用类比思想方法可知，若点A(x1，tan x1)，B(x2，tan x2)是函数ytan x的图象上任意不同两点，则类似地有_成立.【解析】因为ytan x图象是上凸的，因此线段AB的中点的纵坐标总是小于函数ytan x图象上的点的纵坐标，即有tan 成立.【答案】tan 12.定义映射f：AB，其中A(m，n)|m，nR，BR，已知对所有的有序正整数对(m，n)满足下述条件：f
6、(m,1)1；若nm，则f(m，n)0；f(m1，n)nf(m，n)f(m，n-1).则f(2,2)_，f(n,2)_.【解析】根据定义得f(2,2)f(11,2)2f(1,2)f(1,1)2f(1,1)212.f(3,2)f(21,2)2f(2,2)f(2,1)2(21)623-2，f(4,2)f(31,2)2f(3,2)f(3,1)2(61)1424-2，f(5,2)f(41,2)2f(4,2)f(4,1)2(141)3025-2，所以根据归纳推理可知f(n,2)2n-2.【答案】22n-213.(2014陕西高考)观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五
7、棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是_.【解析】观察表中数据，并计算FV分别为11,12,14，又其对应E分别为9,10,12，易观察并猜想FV-E2.【答案】FV-E214.(2016北京顺义区统考)数列an的前n项和为Sn，若数列an的各项按如下规则排列：；，；，；，；，.则a15_；若存在正整数k，使Sk-110，Sk10，则ak_.【解析】从题中可看出分母n1出现n次，当分母为n1时，分子依次是1,2,3，n共n个，由于1234515.因此a15.计算分母为n1的各分数的和，依次为，1，2，3，而12310.510，但127.510，再计算2，而7291
8、0，故ak.【答案】二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)用反证法证明：如果x，那么x22x-10.【证明】假设x22x-10，则x-1.容易看出-1-，下面证明-1.要证：-1，只需证：，只需证：2.上式显然成立，故有-1.综上，x-1.而这与已知条件x相矛盾，因此假设不成立，也即原命题成立.16.(本小题满分14分)已知a，b，c为正数，且f(n)lg ，求证：2f(n)f(2n).【证明】要证2f(n)f(2n)，只需证2.即证(anbncn)23(a2nb2nc2n).即2anbn2cnbn2ancn2(a2nb2nc
9、2n).a2nb2n2anbn，a2nc2n2ancn，b2nc2n2bncn.2anbn2cnbn2ancn2(a2nb2nc2n).原不等式成立.17.(本小题满分14分)已知ABC的三边长分别为a，b，c，且其中任意两边长均不相等，若，成等差数列.(1)比较与的大小，并证明你的结论；(2)求证：角B不可能是钝角.【解】(1).证明如下：要证，只需证.a，b，c0，只需证b2ac.，成等差数列，2，b2ac.又a，b，c均不相等，b2ac.故所得大小关系正确.(2)法一：假设角B是钝角，则cos B0.由余弦定理得，cos B0，这与cos B0矛盾，故假设不成立.所以角B不可能是钝角.法
10、二：假设角B是钝角，则角B的对边b为最大边，即ba，bc，所以0，0，则，这与矛盾，故假设不成立.所以角B不可能是钝角.18.(本小题满分16分)(2016南通月考)诺贝尔奖的发放方式为：每年一次，把奖金总额平均分成6份，奖励在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出了最有益贡献的人.每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年递增.假设基金平均年利率为r6.24%.资料显示：2002年诺贝尔奖发奖后基金总额约为19 800万美元.设f(x)表示为第x(xN*)年诺贝尔奖发奖后的基金总额(2002年记为f(1).(1)用
11、f(1)表示f(2)与f(3)，并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2012年度诺贝尔各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由.(参考数据：1.031 291.32)【解】(1)由题意知：f(2)f(1)(16.24%)-f(1)6.24%f(1)(13.12%)，f(3)f(2)(16.24%)-f(2)6.24%f(1)(13.12%)2，f(x)19 800(13.12%)x-1(xN*).(2)2011年诺贝尔奖发奖后基金总额为f(10)19 800(13.12%)926 136万美元，2012年度诺贝尔奖各项奖金额为f(10)
12、6.24%136万美元，与150万美元相比少了约14万美元.所以新闻“2012年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”不真，是假新闻.19. (本小题满分16分)(2014湖北高考)如图4，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点.求证：图4(1)直线BC1平面EFPQ；(2)直线AC1平面PQMN. 【导学号：97220022】【证明】(1)连结AD1，由ABCDA1B1C1D1是正方体，知AD1BC1，因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FPAD1.从而BC1FP.而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ，故直
13、线BC1平面EFPQ.(2)如图，连结AC，BD，则ACBD.由CC1平面ABCD，BD平面ABCD，可得CC1BD.又ACCC1C，所以BD平面ACC1.而AC1平面ACC1，所以BDAC1.因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MNBD，从而MNAC1.同理可证PNAC1.又PNMNN，所以直线AC1平面PQMN.20.(本小题满分16分)(2014湖南高考)已知函数f(x)xcos x-sin x1(x0).(1)求f(x)的单调区间；(2)记xi为f(x)的从小到大的第i(iN*)个零点，证明：对一切nN*，有0，此时f(x)0；当x(2k1)，(2k2)(kN*)时，sin x0.故f(x)的单调递减区间为(2k，(2k1)(kN*)，单调递增区间为(2k1)，(2k2)(kN*).(2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，)上单调递减.又f0，故x1.当nN*时，因为f(n)f(n1)(-1)nn1(-1)n1(n1)10，且函数f(x)的图象是连续不断的，所以f(x)在区间(n，(n1)内至少存在一个零点.又f(x)在区间(n，(n1)上是单调的，故nxn1(n1).因此，当n1时，；当n2时，(41)；当n3时，.综上所述，对一切nN*，.