1、课时达标检测（十） 双曲线及其标准方程一、选择题1已知双曲线的a5，c7，则该双曲线的标准方程为()A.1B.1C.1或1D.0或0解析：选C由于焦点所在轴不确定，有两种情况又a5，c7，b2725224.2已知m，nR，则“mn0”是“方程1表示双曲线”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选C若方程1表示双曲线，则必有mn0；当mn0时，方程1表示双曲线所以“mn0”是“方程1表示双曲线”的充要条件3已知定点A，B且|AB|4，动点P满足|PA|PB|3，则|PA|的最小值为()A. B. C. D5解析：选C如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右
2、支上的点，当P在M处时，|PA|最小，最小值为ac2.4双曲线1的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P到焦点F1的距离是12，则点P到焦点F2的距离是()A17 B7C7或17 D2或22解析：选D依题意及双曲线定义知，|PF1|PF2|10，即12|PF2|10，|PF2|2或22，故选D.5焦点分别为(2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为()Ax21 B.y21Cy21 D.1解析：选A由双曲线定义知，2a532，a1.又c2，b2c2a2413，因此所求双曲线的标准方程为x21.二、填空题6设m是常数，若点F(0,5)是双曲线1的一个焦点，则m_.解析：由点F(
3、0,5)可知该双曲线1的焦点落在y轴上，所以m0，且m952，解得m16.答案：167经过点P(3,2)和Q(6，7)，且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是_设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)，则解得故双曲线的标准方程为1.答案：18已知双曲线的两个焦点F1(，0)，F2(，0)，P是双曲线上一点，且0，|PF1|PF2|2，则双曲线的标准方程为_解析：解析：由题意可设双曲线方程为1(a0，b0)由0，得PF1PF2.根据勾股定理得|PF1|2|PF2|2(2c)2，即|PF1|2|PF2|220.根据双曲线定义有|PF1|PF2|2a.两边平方并代入|PF1|PF2|2得20224a2，
4、解得a24，从而b2541，所以双曲线方程为y21.答案：y21三、解答题9已知与双曲线1共焦点的双曲线过点P，求该双曲线的标准方程解：已知双曲线1.据c2a2b2，得c216925，c5.设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)依题意，c5，b2c2a225a2，故双曲线方程可写为1.点P在双曲线上，1.化简，得4a4129a21250，解得a21或a2.又当a2时，b225a2250，不合题意，舍去，故a21，b224.所求双曲线的标准方程为x21.10已知ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x25y25的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式sin Bsin Asin C.(1)求线段AB的长度；(2)求顶点C的轨迹方程解：(1)将椭圆方程化为标准形式为y21.a25，b21，c2a2b24，则A(2,0)，B(2,0)，|AB|4.(2)sin Bsin Asin C，由正弦定理得|CA|CB|AB|2|AB|4，即动点C到两定点A，B的距离之差为定值动点C的轨迹是双曲线的右支，并且c2，a1，所求的点C的轨迹方程为x21(x1)
