1、第2课时定点、定值、范围、最值问题一、选择题1设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A. B2,2C1,1 D4,4解析Q(2,0)，设直线l的方程为yk(x2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20，由(4k28)24k24k264(1k2)0，解得1k1.答案C2(2017石家庄模拟)已知P为双曲线C：1上的点，点M满足|1，且0，则当|取得最小值时点P到双曲线C的渐近线的距离为()A. B. C4 D5解析由0，得OMPM，根据勾股定理，求|MP|的最小值可以转化为求|OP|的最小值，当|OP|取得最小
2、值时，点P的位置为双曲线的顶点(3,0)，而双曲线的渐近线为4x3y0，所求的距离d，故选B.答案B3已知椭圆C的方程为1(m0)，如果直线yx与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为()A2 B2 C8 D2解析根据已知条件得c，则点(，)在椭圆1(m0)上，1，可得m2.答案B4若双曲线1(a0，b0)的渐近线与抛物线yx22有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是()A3，) B(3，) C(1,3 D(1,3)解析依题意可知双曲线渐近线方程为yx，与抛物线方程联立消去y得x2x20.渐近线与抛物线有交点，80，求得b28a2，c3a，e3.答案A5(2017宝鸡
3、一模)斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()A2 B. C. D.解析设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0，则x1x2t，x1x2.|AB|x1x2|，当t0时，|AB|max.答案C二、填空题6已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程是yx，它的一个焦点与抛物线y216x的焦点相同，则双曲线的方程为_解析由条件知双曲线的焦点为(4,0)，所以解得a2，b2，故双曲线方程为1.答案17已知动点P(x，y)在椭圆1上，若A点坐标为(3,0)，|1，且0，则|的最小值是_解析0，.|2
4、|2|2|21，椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，故|min2，|min.答案8(2017平顶山模拟)若双曲线x21(b0)的一条渐近线与圆x2(y2)21至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是_解析双曲线的渐近线方程为ybx，则有1，解得b23，则e21b24，e1，1e2.答案(1,2三、解答题9.如图，椭圆E：1(ab0)的离心率是，点P(0,1)在短轴CD上，且1.(1)求椭圆E的方程；(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由解(1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，b)，(0，b)又点P的坐标为(0,1
5、)，且1，于是解得a2，b.所以椭圆E方程为1.(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykx1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)联立得(2k21)x24kx20.其判别式(4k)28(2k21)0，所以，x1x2，x1x2.从而，x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)12.所以，当1时，23.此时，3为定值当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，此时213，故存在常数1，使得为定值3.10(2016浙江卷)如图，设椭圆y21(a1)(1)求直线ykx1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；(2)若任意以点A(0,1)为圆
6、心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围解(1)设直线ykx1被椭圆截得的线段为AM，由得(1a2k2)x22a2kx0.故x10，x2，因此|AM|x1x2|.(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|AQ|.记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k20，k1k2.由(1)知|AP|，|AQ|，故，所以(kk)1kka2(2a2)kk0.由于k1k2，k1，k20得1kka2(2a2)kk0，因此1a2(a22)，因为式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1a2(a22)1，所以a.因此，任意以点A(0,1)为圆心的
7、圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a，由e得，所求离心率的取值范围是.11(2016湖南师大附中月考)设双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线与抛物线y2x的一个交点的横坐标为x0，若x01，则双曲线C的离心率e的取值范围是()A. B(，)C(1，) D.解析不妨联立yx与y2x的方程，消去y得x2x，由x01知1，即1，故e22，又e1，所以1e，故选C.答案C12(2017河南省八市质检)已知双曲线1(a0，b0)的离心率为2，它的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点若AOB的面积为，则抛物线的准线方程为()Ax2 Bx2 Cx1 Dx1解析因为
8、e2，所以c2a，ba，双曲线的渐近线方程为yx，又抛物线的准线方程为x，联立双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程得A，B，在AOB中，|AB|p，点O到AB的距离为，所以p，所以p2，所以抛物线的准线方程为x1，故选D.答案D13(2017合肥诊断)若点O和点F分别为椭圆1的中点和左焦点，点P为椭圆上的任一点，则的最小值为_解析点P为椭圆1上的任意一点，设P(x，y)(3x3，2y2)，依题意得左焦点F(1,0)，(x，y)，(x1，y)，x(x1)y2x2x2.3x3，x，2，2，6212，即612，故最小值为6.答案614(2017衡水中学高三联考)已知椭圆C：1(ab0)短轴的两个顶点
9、与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x4y60与圆x2(yb)2a2相切(1)求椭圆C的方程；(2)已知过椭圆C的左顶点A的两条直线l1，l2分别交椭圆C于M，N两点，且l1l2，求证：直线MN过定点，并求出定点坐标；(3)在(2)的条件下求AMN面积的最大值解(1)由题意，得即C：y21.(2)由题意得直线l1，l2的斜率存在且不为0.A(2,0)，设l1：xmy2，l2：xy2，由得(m24)y24my0，M.同理，N.m1时，kMN，lMN：y.此时过定点.m1时，lMN：x，过点.lMN恒过定点.(3)由(2)知SAMN|yMyN|8.令t2，当且仅当m1时取等号，SAMN，且当m1时取等号(SAMN)max.7