1、第一节平面向量的概念及线性运算最新考纲考情分析核心素养1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.平面向量的相关概念，平面向量的线性运算，共线向量定理及其应用仍是2021年高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题，分值为5分.1.数学运算2.直观想象知识梳理1向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长
2、度等于1个单位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：abba；结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算|a|a|，当0时，a与a的方向相同；当|b|，则abC若ab，则abD若|a|0，则a0解析：选C对于A，当|a|b|，即向量a，b的模相等时，方向不一定相同，则ab不一定成立，故A不正确；对于B，向量的模可以比较大小，但向量
3、不可以比较大小，故B不正确；C显然正确；对于D，若|a|0，则a0，故D不正确，故选C2给出下列命题：(1)若|a|b|，则ab；(2)若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；(3)若ab，bc，则ac；(4)两向量a，b相等的充要条件是|a|b|且ab.其中正确命题的序号是_解析：(1)不正确两个向量的模相等，但它们的方向不一定相同，因此由|a|b|推不出ab.(2)正确若，则|且.又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD是平行四边形反之，若四边形ABCD是平行四边形，则ABDC且 与方向相同，因此.(3)正确ab，a，b的长度相等且方向相同bc，b，
4、c的长度相等且方向相同a，c的长度相等且方向相同，ac.(4)不正确当ab，但方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，故不是ab的充要条件答案：(2)(3)3给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；a0(为实数)，则必为零；，为实数，若ab，则a与b共线其中错误命题的个数为()A0B1C2D3解析：选D错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点；错误，当a0时，不论为何值，a0；错误，当0时，ab0，此时a与b可以是任意向量，故错误的命题有3个，故选D名师点津向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制(3)相等向
5、量的关键是方向相同且长度相等(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线命题角度一用已知向量表示未知向量【例1】(1)(2019届吉林大学附属中学摸底)在梯形ABCD中，3，则等于()ABCD(2) 如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，a，b，则等于()AabBabCabDab解析(1)如图，在线段AB上取点E，使BEDC，连接DE，则四边形BCDE为平行四边形，则，又3，即.故选D(2)连接CD(图略)，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CDAB且a，所以ba.答案(1)D(2)D命题角度二根据向量线性运算求参数【
6、例2】如图，在ABC中，N为线段AC上靠近点A的三等分点，点P在线段BN上，且，则实数m的值为()A1BCD解析由题意，得()m.设(01)，则()(1).由题意，得，所以(1)，则解得故选D答案D名师点津向量线性运算的解题策略(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解【例3】设向量a与b不共线(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线解(1)
7、证明：ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)5(ab)5，共线又它们有公共点B，A，B，D三点共线(2)kab与akb共线，存在实数，使kab(akb)，即(k)a(k1)b.又a，b是两个不共线的非零向量，k210.k1.|变式探究|1若将本例(1)中“2a8b”改为“amb”，则m为何值时，A，B，D三点共线？解：(amb)3(ab)4a(m3)b，若A，B，D三点共线，则存在实数，使，即4a(m3)b(ab)，解得m7.故当m7时，A，B，D三点共线2若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？解：因为kab与akb反向共线，所以存在实数，使kab(akb)(0)，即
8、kabakb，所以所以k1.又0，k，所以k1.故当k1时，两向量反向共线名师点津利用共线向量定理解题的策略(1)abab(b0)是判断两个向量共线的主要依据注意待定系数法和方程思想的运用(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线例A，B，C三点共线，共线(3)若a与b不共线且ab，则0.(4)(，为实数)，若A，B，C三点共线，则1.|跟踪训练|1已知向量i与j不共线，且imj，nij，若A，B，D三点共线，则实数m，n应该满足的条件是()Amn1Bmn1Cmn1Dmn1解析：选C由A，B，D三点共线可设 (
9、R)，于是有imj(nij)nij.又i，j不共线，因此即有mn1.2在ABC中，N是AC边上一点且，P是BN上一点，若m，则实数m的值是_解析：因为，所以，所以mm.因为P是BN上一点，所以B，P，N三点共线，所以m1，所以m.答案：【例】(2019届洛阳市第二次联考)在ABC中，点D在线段BC上，且2，点O在线段CD上(与点C，D不重合)若x(1x)，则x的取值范围是()A(0，1)BCD解析解法一：由题意，得x(1x)x()，即x()，x，x.2，3，则0x，x的取值范围是，故选C解法二：由题意，可设，则(1)x(1x)，则x1，故选C答案C名师点津与平面向量线性运算有关的范围问题：一是可利用数形分析，二是可建立目标函数转化为求值域|跟踪训练|(2019届安徽、江南十校联考)已知扇形OAB的中心角为AOB90，半径为2，C是其弧上一点，若，则的最大值为_解析：因为AOB90，扇形OAB的半径为2，C为其弧上一点，所以以O为坐标原点，OA，OB所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系xOy，如图所示，则A(2，0)，B(0，2)因为，所以(2，2)，且|2，则(2)2(2)24，即221，故，当且仅当时，等号成立故的最大值为.答案：