1、学业分层测评(六)椭圆的标准方程(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1.圆1上一点M到一个焦点的距离为4，则M到另一个焦点的距离为_.【解析】设椭圆1的左、右焦点分别为F1、F2，不妨令MF14，由MF1MF22a10，得MF210MF11046.【答案】62.若a6，b，则椭圆的标准方程是_.【解析】椭圆的焦点在x轴上时，方程为1，在y轴上时，方程为1.【答案】1或13.(2016汉中高二检测)已知椭圆的两焦点为F1(2,0)，F2(2,0)，P为椭圆上的一点，且F1F2是PF1与PF2的等差中项.该椭圆的方程是_.【解析】PF1PF22F1F2248，2a8，a4，b2a2c21641
2、2，椭圆方程是1.【答案】14.过(3,2)点且与1有相同焦点的椭圆方程为_.【解析】与1有相同焦点的椭圆可设为1且k4，将(3,2)代入得：k6.【答案】15.把椭圆1的每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标缩短到原来的，则所得曲线方程为_. 【导学号：24830028】【解析】原方程化为221，所得曲线为x2y21.【答案】x2y216.椭圆4x29y21的焦点坐标是_.【解析】椭圆化为标准形式为1，a2，b2，c2a2b2，且焦点在x轴上，故为.【答案】7.方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是_.【解析】将方程化为1，由题意得解之得m1.【答案】mb0)，椭圆经过点(2,0)和(0
3、,1)，故所求椭圆的标准方程为y21.(2)椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为1(ab0)，P(0，10)在椭圆上，a10.又P到它较近的一个焦点的距离等于2，c(10)2，故c8，b2a2c236.所求椭圆的标准方程是1.10.已知椭圆1上一点M的纵坐标为2.(1)求M的横坐标；(2)求过M且与1共焦点的椭圆的方程.【解】(1)把M的纵坐标代入1，得1，即x29.x3.即M的横坐标为3或3.(2)对于椭圆1，焦点在x轴上且c2945，故设所求椭圆的方程为1，把M点坐标代入得1，解得a215.故所求椭圆的方程为1.能力提升1.(2016绵阳高二检测)设P是椭圆 1上的点，F1，F2分别
4、为椭圆的左、右焦点，则PF1PF2的最大值是_.【解析】由题意知：PF1PF22a8，所以PF1PF22216，当且仅当PF1PF2时取“”号，故PF1PF2的最大值是16.【答案】162.已知椭圆的两个焦点是F1，F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得PQPF2，那么动点Q的轨迹是_.【解析】如图所示，因为P是椭圆上的一个动点，所以由椭圆的定义可知：PF1PF22a为常数.又因为PQPF2，所以PF1PQ2a，即QF12a为常数.即动点Q到定点F1的距离为定值，所以动点Q的轨迹是以F1为圆心，以2a为半径的圆.故Q的轨迹为圆. 【答案】圆3.(2016长沙高二检测)若F1，F2
5、是椭圆1的两个焦点，A为椭圆上一点，且F1AF245，则AF1F2的面积为_.【解析】如图所示， F1F22，AF1AF26，由AF1AF26，得AFAF2AF1AF236.又在AF1F2中，AFAFF1F2AF1AF2cos 45，所以362AF1AF28AF1AF2，所以AF1AF214(2)，所以SAF1F2AF1AF2 sin 4514(2)7(1). 【答案】7(1)4.已知点P(6,8)是椭圆1(ab0)上的一点，F1，F2为椭圆的两焦点，若0.试求(1)椭圆的方程.(2)求sinPF1F2的值.【解】(1)因为0，所以(c6)(c6)640，所以c10，所以F1(10,0)，F2(10,0)，所以2aPF1PF212，所以a6，b280.所以椭圆方程为1.(2)因为PF1PF2，所以SPF1F2PF1PF2F1F2yP80，所以PF1PF2160，又PF1PF212，所以PF24，所以sinPF1F2.