1、长方体和正方体一、长方体的认识1.认识长方体的面、棱、顶点。(1)从不同的角度观察同一个长方体。把长方体放在桌面上，无论从哪个角度观察，最多只能同时观察到长方体的三个面。(2)长方体的棱和顶点。长方体两个面相交的线叫作长方体的棱，三条棱相交的点叫作长方体的顶点。2.长方体的特征。长方体是由6个长方形(也可能有2个相对的面是正方形)围成的立体图形，它有6个面、12条棱和8个顶点。在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。3.长方体长、宽、高的含义。长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫作它的长、宽、高。4.长方体的长、宽、高不是固定不变的，它与长方体的摆放方式有关。长方体相交于同一
2、顶点的三条棱中，通常把水平方向的两条棱分别叫作它的长和宽，把竖直方向的一条棱叫作它的高。二、正方体的认识1.正方体也叫立方体。它是由6个完全相同的正方形围成的立体图形。它的6个面是完全相同的正方形，12条棱的长度都相等，有8个顶点。2.正方体的长、宽、高相等，都叫正方体的棱长。3.长方体和正方体的特征的异同。相同点:都有6个面、12条棱、8个顶点，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。不同点:长方体的6个面都是长方形(也可能有2个相对的面是正方形);一般情况下，棱有3组，每组4条棱长度相等。正方体的6个面是完全相同的正方形;每条棱的长度都相等。三、正方体、长方体的展开图1.把一个正方体沿一条棱剪
3、开，如下图所示。正方体的展开图是由6个完全相同的正方形组成的，可以通过观察、折叠找到3组相对的面。2.沿长方体的棱把长方体剪开，展开图中有3组相对的面，相对的面完全相同，相对的面完全隔开。3.沿着正方体(或长方体)的棱将它剪开，可以把正方体(或长方体)展开成一个平面图形，这个平面图形就是正方体(或长方体)的展开图。在展开图中，正方体的6个面完全相同(长方体相对的面完全相同)，相对的面完全隔开。四、长方体和正方体表面积的意义及计算方法1.表面积的意义:长方体(或正方体)6个面的总面积，叫作它的表面积。2.长方体和正方体表面积的计算方法。(1)长方体的表面积=长宽2+长高2+宽高2=(长宽+长高+
4、宽高)2。如果用S表示长方体的表面积，用A.B.h分别表示长方体的长、宽、高，那么长方体表面积的计算公式是S=2ab+2ah+2bh或S=(ab+ah+bh)2。(2)正方体的表面积=棱长棱长6。如果用S表示正方体的表面积，用a表示棱长，那么正方体表面积的计算公式是S=6a2。五、运用长方体和正方体表面积的计算方法解决实际问题1.求长方体和正方体物体的表面积时，最关键的是要根据实际情况确定好求几个面的面积和。2.在实际生活中，并不是所有长方体形状的物体都有6个面，如长方体的鱼缸只有5个面，通风管只有4个面。因此，在计算时要根据实际情况解题。六、体积和容积的意义1.物体所占空间的大小叫作物体的体
5、积。2.能盛装其他物体的都可以称为容器，不能盛装其他物体的都不是容器。3.容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。4.有容积的物体一定有体积，但有体积的物体不一定有容积。七、体积单位1.棱长是1厘米的正方体，体积是1立方厘米。2.棱长是1分米的正方体，体积是1立方分米。3.棱长是1米的正方体，体积是1立方米。4.常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，用字母表示分别是cm3、dm3和m3。八、容积单位1.容积单位的使用方法。计量容积，一般就用体积单位。计量液体的体积，如水、油等，通常用升或毫升作单位。升和毫升，用字母表示分别为L和mL，其中1L=1000mL。2.容积单位的换算。1dm3=1
6、L1cm3=1mL高级单位向低级单位转换用乘法计算;低级单位向高级单位转换用除法计算。3.“容积”与“体积”的区别。(1)意义不同。体积是指物体所占空间的大小，而容积是指容器所能容纳物体的体积。一个物体有体积，但它不一定有容积。(2)测量方法不同。求物体的体积是从物体的外面测量它的长、宽、高进行计算，而求物体的容积则必须从里面来测量它的长、宽、高，然后计算。因此，对于同一个物体，一般来说，它的容积要比体积小。(3)单位名称不完全相同。体积单位一般用立方米、立方分米、立方厘米。固体、气体的容积单位与体积单位相同，而液体的容积单位一般用升、毫升。九、长方体体积公式的推导1.以取12个1立方厘米的小
7、正方体，摆出不同形状的长方体为例，如下图:每个小正方体的体积是1立方厘米，每个长方体是由12个小正方体摆成的，所以每个长方体的体积都是12立方厘米。2.填写表格。长/cm宽/cm高/cm小正方体的个数体积/cm3长方体12111212长方体6211212长方体4311212长方体32212123.(1)在摆成的长方体中，每排小正方体的个数相当于长方体的长;排数相当于长方体的宽;层数相当于长方体的高。(2)长方体所含小正方体(体积单位)的个数正好等于长方体长、宽、高的乘积。4.长方体体积公式的字母表达式。如果用V表示长方体的体积，用A.B.h分别表示长方体的长、宽、高，那么长方体的体积公式可以写
8、成V=abh。长方体的体积=长宽高，字母公式为V=abh。5.拓展提高。当长方体的长、宽、高都扩大到原来的n倍时，它的体积就扩大到原来的n3(nnn=n3)倍;当长方体的长、宽、高都缩小到原来的1n时，它的体积就缩小到原来的1n31n1n1n=1n3。十、正方体体积公式的推导1.长方体的体积=长宽高正方体的体积=棱长棱长棱长2.正方体体积的字母公式。如果用V表示正方体的体积，用a表示正方体的棱长，那么正方体体积的字母公式可以写成V=aaa=a3。3.拓展提高。当正方体的棱长扩大到原来的n倍时，它的体积就扩大到原来的n3倍;当正方体的棱长缩小到原来的1n时，它的体积就缩小到原来的1n3。十一、运
9、用体积公式解决实际问题如果长方体和正方体体积公式中的已知条件都具备，那么可直接利用公式计算体积。十二、长方体和正方体体积的通用公式1.长方体和正方体底面积的意义。长方体和正方体无论怎样放置，总有一个面与平面接触，通常把这个面叫作底面。长方体和正方体底面的面积，叫作它们的底面积。2.长方体和正方体底面积的计算方法。(1)长方体的底面积=长宽。(2)正方体的底面积=棱长棱长。3.长方体和正方体体积公式的推导。长方体的体积=长宽高底面积高正方体的体积=棱长棱长棱长底面积可看作高长方体(或正方体)的体积=底面积高长方体(或正方体)的体积=底面积高。如果用V表示体积，S表示底面积，h表示高，那么长方体(
10、或正方体)的体积公式可以写成V=Sh。十三、容积的计算方法1.长方体或正方体物体容积的计算方法与体积的计算方法相同，知道长、宽、高或棱长，即可根据体积公式求出物体的容积。2.体积和容积的区别与联系。(1)不同点。意义不同。.物体所占空间的大小叫作物体的体积。.容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。测量方法不同。.求物体的体积是从物体的外部来测量长、宽、高或棱长。.求物体的容积是从容器的内部来测量长、宽、高或棱长。单位名称不完全相同。.体积单位一般用立方米、立方分米、立方厘米。.容积一般用体积单位，但在计量液体(如药水、汽油等)的体积时，常用升或毫升作单位。(2)相同点。计算公式相同。长方体(或
11、正方体)的体积(或容积)=底面积高。易错点:误认为一个长方体中最多有4条相等的棱。这是错误的，一定要注意长方体的6个面不一定都是长方形，也可能有2个相对的面是正方形。当长方体有2个相对的面是正方形时，就有8条棱长度相等。直观图中的实线表示从某个角度能够看到的棱，虚线表示看不到的棱。长方体12条棱的长度和叫作长方体的棱长总和。长方体的棱长总和=(长+宽+高)4。易错点:误认为有6个面、12条棱、8个顶点的立体图形不是长方体就是正方体。这是不正确的，一定要注意有6个面、12条棱、8个顶点并不代表它就是长方体或正方体，要看它是否具备长方体或正方体的所有特征，如下图，这个立体图形既不是长方体，也不是正
12、方体。正方体的棱长总和:棱长12。正方体具有长方体的一切特征，正方体是特殊的长方体。同一个立体图形，沿不同的棱剪开，得到的展开图不同。技巧:正方体有6个相同的面，可以通过观察、折叠找到3组相对的面。长方体有3组相对的面，可以通过看是否完全隔开，完全隔开的一组面就是相对的两个面。当所求的长方体的表面积是6个面的面积时，先分别求出每组相对的面中一个面的面积，相加后再乘2较简便。举例:大厅里有8根高为5米的方柱需要涂油漆，方柱的横截面是边长为0.5米的正方形，若1千克油漆可以涂5平方米，则涂这8根方柱需要多少千克油漆？错解:(0.50.52+0.554)851=16.8(千克)答:涂这8根方柱需要1
13、6.8千克油漆。正解:0.554851=16(千克)答:涂这8根方柱需要16千克油漆。一个容器容积的大小与它所能盛装物体的多少有关。因为容器都有一定的厚度，所以一个容器的体积一般大于它的容积。并不是只有棱长是1cm、1dm、1m的正方体的体积才是1cm3、1dm3和1m3。易错点:误认为容积就是体积，这是不对的，一定要注意“容积”与“体积”的不同。如一本书有体积，却没有容积。较大容器盛装液体时用“升”作单位，较小容器盛装液体时用“毫升”作单位。巧记:体积单位常用到，相邻进率是1000。高级单位化低级，要把此数乘1000。低级单位化高级，除以1000把数算。转换过程要细心，掌握进率是关键。明确摆
14、成不同形状长方体的长、宽、高分别是多少。1立方厘米的小正方体的边长是1厘米。长方体的长、宽、高由几个小正方体摆成，它的长、宽、高就分别是几厘米，它的体积正好等于摆成长方体所需小正方体的个数。举例:如果一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，那么它的体积就扩大到原来的23倍，即8倍;反之，如果一个长方体的长、宽、高都缩小到原来的12，那么它的体积就缩小到原来的123，即18。aaa也可以写成“a3”，即aaa=a3，读作“a的立方”，表示3个a相乘。因此，正方体的体积公式一般写成V=a3。写a3时，“3”要写在a的右上角，且要略小一些。举例:如果一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，那么它的体积就
15、扩大到原来的8倍;反之，如果一个正方体的棱长缩小到原来的12，那么它的体积就缩小到原来的18。在有些实际问题中，也可以用“横截面的面积长”来计算体积。运用通用公式进行计算时，一定要注意单位的统一。如一个长方体的底面积是8平方厘米，高是3分米，求体积。错解:83=24(立方厘米)正解:3分米=30厘米，830=240(立方厘米)计算体积从外面测量长、宽、高;计算容积从里面测量长、宽、高。有的物体既有体积，也有容积，如箱子、油桶、瓶子等。有的物体有体积，却没有容积，如石头、木头这类实心的物体。既有体积又有容积的物体，它的体积一定大于它的容积。只有在容器厚度忽略不计的情况下，容积才可以看作与体积相等。巧记:容积、体积孪兄弟，只是度量不统一。容积心中装物体，体积只想占空间。容积尺寸从里测，体积尺寸从外量。记住二者不同处，计算才能少失误。