1、等差数列的基本量运算【例1】已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S1284，S20460.(1)求数列an的通项公式；(2)求 S28.(1)设数列an的公差为 d，由前 n 项和公式有12a1611d8420a11019d460 d4a115，所以 an4n19.(2)S2828a11427d1092.等差数列的有关问题都可转化为基本量的运算来解决是通性通法，在 5 个量 a1，d，n，Sn，an 中是“知三求二”【变式练习1】已知等差数列an中，a3a716，a4a60，求an的前n项和Sn.11112211111(2)(6)1635081216488.228(1)(9)8(1)(
2、9)nnnadadadadadadadadaaddSnn nn nSnn nn n 设数列的公差为，则，即，解得或因此，【或 】解析等差数列的判定与证明 11122(2)1122nnnnnnnanSaaS SnSa已知数列的前 项和为，且满足 ，数列是否为等差数【例】列，请证明你的结论；求的通项公式 111111112(2)112 (2)111221111(1)22(1)2,.2122.2(1)1(1)121.12(22)2(1)nnnnnnnnnnnnnnaSSS SnnSSSSandnnSSSnnaS Sn nnnaann n因为 ，所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列由知，所以 所
3、以，当时，有 当 时【解析，所以】.判断一个数列是等差数列的方法有定义法、等差中项法，或者从通项公式、求和公式的形式上判断证明一个数列是等差数列的方法有定义法和等差中项法【变式练习 2】已知函数 f(x)x3x1，数列an 满足a11，an1f(an)(nN*)(1)设数列 bn 1an，求证bn 是等差数列；(2)求数列an 的通项公式【解析】(1)依题意有 an1an3an1，所以 1an1 1an3，故 bn1bn3，所以数列bn 是以 b11 为首项，3 为公差的等差数列(2)由(1)可知 bn13(n1)3n2，所以 an13n2(nN*)等差数列的通项公式及性质的综合应用【例3】数
4、列an中，a18，a42，且满足an22an1an0(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)设Sn|a1|a2|an|，求Sn.21411*120.(41)2.(1)210()210045.21805060.2nnnnnnnnnnaaaadaaddaaandnnannannana N因为 ，所以数列是等差数列，设其公差为由 ，得 所以数列的通项公式为 由，得所以，当时，】；当时，【解析1212212123456712345122225962()()140 8(2)2940.9*,5.940*6nnnnnnnnnSaaaaaannnSaaaaaaaaaaaaaaaaaaan nnnnnn n
5、nSnnnn NN当时，；当时，所以 本题考查求等差数列的通项公式及其前n项的绝对值的和若数列an满足an22an1an0(nN*)，则它是等差数列等差数列an中，求Sn|a1|a2|an|，分两种情形：11212121121212001()2()()(1)001()()2()()1)2(1nnmnnnmnadmSaaa nmaaaaaanmadmSaaanmaaaaaanm 已知，当数列从第 项开始为负数时，已知，当数列从第 项开始为正数时，【变式练习3】已知Sn为数列an的前n项和，且Sn12nn2.求下列两式的值：(1)|a1|a2|a3|a10|；(2)|a1|a2|a3|an|.21
6、1*1221*121121112(12)12(1)(1)132.1132 111132.131320.216070.nnnnnnnnSnnnaSnnaSSnnnnnnaanannnnannaNNN因为 ，所以，当 时，；当，时，又当 时，所以 由，得所以，当，时，；当，时，【解析】(1)|a1|a2|a3|a10|a1a2a3a6(a7a8a9a10)2S6S102(12662)(1210102)52.(2)当1n6，nN*时，|a1|a2|a3|an|a1a2a3an12nn2；当n7，nN*时|a1|a2|a3|an|a1a2a3a6(a7a8an)2S6Sn2(12662)(12nn2)
7、n212n72.用函数方法求等差数列的最值问题 421124.14522nnnnnndanSaSSbadab已知公差为 的等差数列的前 项和为，求公差 的值；若 ，求数列中的最大项和最【例】小项的值 42111144124422(2)41.5127(11)21111.722nnnnSSadaddadaaandnban 因为 ，所以，所以 因为 ，所以数列的通项公式为 ，所以 【解析】431771()(,)72221,34)31.nnf xxbbbb又函数 在 ，和上都是单调递减函数，所以数列在和，上都是递减数列，所以数列中的最大项是 ，最小项是 本题考查的内容有两方面：一是等差数列及其前n项和
8、公式的运用；二是求数列中项的最值本题解法采用的是以函数单调性的方法判断数列的单调性进而求得数列中项的最大、最小值一般地，如果函数yf(x)在某一区间是减函数，则数列在由此区间内所有的正整数组成的集合上是递减数列【变式练习4】已知等差数列an中，a33，S33.(1)试求数列an的通项公式an；(2)在直角坐标系中，画出anf(n)的图象；(3)当n等于多少时，该数列的前n项和Sn取得最小值？并求最小值；(4)求证：S6，S12S6，S18S12成等差数列 31131*1233.235.3334(1)49()49()49059.1141904426.23nnnnnnadaadaSaddaandn
9、naf nyxannannnnSSSa N设等差数列的公差为由，得所以 的图象是直线 上一列孤立的点 图略 由，得而 是正整数，所以当 时，该数列的前项和取得最小值，最【解析】小值为 61121181126181212661812612618126563060 30212 111260264204218 171890612522217431824()()SadSadSadSSSSSSSSSSSSSS证明：因为 ，所以，即，所以，成等差数列1.已知an为等差数列，且a72a41，a30，则公差d _127433242()121.2aaadaddd由 ，得】【解析2.等差数列an前n项的和为Sn，
10、若S1995，则a3a17 _10 119191193171191995210.10.aaSaaaaaa由，得【所以 解析】11*113.35nnnnaaaanaN已知数列中，则通项 _31514n 11531115145(1)333.1514nnnannaan由题意可知数列是等差数列，且首项是，公差是，所以 ，所以【解析】4.已知f(x)a1xa2x2a3x3anxn，且a1，a2，a3，an组成等差数列(n为正偶数)又f(1)n2，f(1)n，求数列an的通项公式an.212211112341214311*1222(1)2.*(1)()()()2*1221(2)nnnnnnnnfaaann
11、 aanaanandnfaaaaaanaaaaaann dndaannkkN因为 ，依题意得，所以 ，即 又 ，即【，所以，则 ，代入得解析】，所以，115.2(2).9112.nnnnnnnnanSaSSnaSaa 已知数列的前 项和为，且，求证：是等差数列；求数列的通项公式 11111111(2)111.1119211nnnnnnnnnnnnnaSSnaSSSSSSSSSSa证明：因为，所以，即，所以故数列是首项为，【解析公差为 的】等差数列 11119111(1)22221121324(2)112132292(1)94(2,*)1122132nnnnnnnnnSSSnnaSSnnnana
12、nnnnN由知 ，所以，所以 而 不适合上式，所以本节内容主要考查数列的运算、推理及转化的能力与思想考题一般从三个方面进行考查：一是应用等差数列的通项公式及其前n项和公式计算某些量和解决一些实际问题；二是给出一些条件求出首项和公差，进而求得等差数列的通项公式及其前n项和公式，或将递推关系式变形转化为等差数列问题间接地求得等差数列的通项公式；三是证明一个数列是等差数列.1等差数列常用的两个性质：(1)等差数列an中，对任意的m，n，p，qN*，若mnpq，则amanapaq.特别地，若mn2p，则aman2ap.(2)等差数列an的通项公式可以写成anam(nm)d(n，mN*)2已知三个数成等差数列，往往设此三数为ad，a，ad可以方便地解决问题3证明一个数列an是等差数列有两种方法：(1)用定义证明：即求得an1an是一个与n无关的常数(2)利用等差中项：即证明2an1anan2(nN*)4注意几个说法：(1)“an pn q(nN*，p，qR)”是“an为等差数列”的充要条件；(2)“SnAn2Bn(nN*，A，BR)”是“an为等差数列”的充要条件；(3)“数列an的通项公式是一次函数”是“an为等差数列”的充分不必要条件；(4)“数列an的前n项和是二次函数”是“an为等差数列”的既不充分又不必要条件