1、高考研究(一)万有引力定律的三类应用万有引力定律的应用问题主要集中在三个方面，由于重力是因物体受到地球的万有引力而产生的，因此会出现与重力加速度有关的问题；由于行星绕恒星做匀速圆周运动的向心力来源于二者间的万有引力，因此会出现估算天体质量和估算天体密度的问题；还会出现两个行星做圆周运动的物理量比较问题以及双星模型等问题。题型简述重力是由于物体受到地球的万有引力而产生的。实质上重力只是万有引力的一个分力，另一个分力提供物体随地球自转做圆周运动的向心力，但由于向心力所占比例很小，一般认为重力约等于万有引力，即 mgGMmR2。故重力加速度可与行星质量、半径进行综合考查。|与重力加速度有关的问题方法
2、突破求解该类问题时要掌握物体的重力等于地球对物体的引力，即 mgGMmR2，从而得到地球表面重力加速度 gGMR2，地面上方 h 处 gGMRh2。当与抛体运动结合时，公式中 h12gt2、v22gH 中的 g 为该星球表面重力加速度。例 1(2017东北三省三校联考)设宇宙中某一小行星自转较快，但仍可近似看作质量分布均匀的球体，半径为 R。宇航员用弹簧测力计称量一个相对自己静止的小物体的重量，第一次在极点处，弹簧测力计的读数为 F1F0；第二次在赤道处，弹簧测力计的读数为 F2F02。假设第三次在赤道平面内深度为R2的隧道底部，示数为 F3；第四次在距行星表面高度为 R 处绕行星做匀速圆周运
3、动的人造卫星中，示数为F4。已知均匀球壳对壳内物体的引力为零，则以下判断正确的是()AF3F04，F4F04BF3F04，F40CF315F04，F40 DF34F0，F4F04解析 设该行星的质量为 M，则质量为 m 的物体在极点处受到的万有引力 F1GMmR2 F0。由于在赤道处，弹簧测力计的读数为 F2F02，则 Fn2F1F212F0m2R。行星半径R2以内的部分的质量为 MR23R3 M18M，物体在R2处受到的万有引力 F3GMmR2212F112F0，物体需要的向心力Fn3m2R212m2R14F0，所以在赤道平面内深度为R2的隧道底部，弹簧测力计的示数为 F3F3Fn312F0
4、14F014F0，第四次在距行星表面高度为 R 处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中时，物体受到的万有引力恰好提供向心力，所以弹簧测力计的示数为 0。B 正确。答案 B名师指津本题的关键点是对行星上随行星自转的物体所受万有引力与重力的区别。极点处，物体在行星的自转轴上，可认为物体不做匀速圆周运动，此处万有引力等于重力，弹簧测力计的读数为 F1F0F 万；赤道处，万有引力与重力的关系式为 GF向F万，弹簧测力计的读数即为物体在行星表面所受的重力，本题中赤道处万有引力的一半用来提供向心力。同理，可求解在赤道平面内深度为R2的隧道底部的弹簧测力计的示数 F3。跟进训练 1(2015重庆高考)宇航员王亚
5、平在“天宫 1 号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为 m，距地面高度为 h，地球质量为 M，半径为 R，引力常量为 G，则飞船所在处的重力加速度大小为()A0 B.GMRh2C.GMmRh2D.GMh2 解析：选 B 飞船受的万有引力等于在该处所受的重力，即 G MmRh2mg，得 gGMRh2，选项 B 正确。题型简述根据测量得到的卫星绕天体运动的周期和轨道半径可计算出天体质量，若已知天体半径，可求出天体密度。|与天体质量、密度有关的问题方法突破求解天体质量原理为：天体对它的卫星(或行星)的引力就是卫星(或行星)绕天体做匀速圆周运动的向心力。即
6、GMmr2 m42T2 r，由此可得天体质量 M42r3GT2；密度 M43R3 3r3GT2R3。其中：r 为卫星绕天体做圆周运动的轨道半径，R 为中心天体的半径。由上式可知，只要已知卫星(行星)做圆周运动的半径 r 及运行周期T，就可以算出天体的质量 M，若知道天体的半径则可求得天体的密度。例 2(2017山西实验中学模拟)土星拥有许多卫星，至目前为止所发现的卫星数已经有 30 多个。土卫一是土星 8 个大的、形状规则的卫星中最小且最靠近土星的，直径为 392千米，与土星平均距离约 1.8105 千米，公转周期为 23 小时，正好是土卫三公转周期的一半，这两个卫星的轨道近似于圆形。求：(1
7、)土卫三的轨道半径(已知3 21.26，结果保留两位有效数字)；(2)土星的质量(结果保留一位有效数字)。解析 (1)根据开普勒第三定律R3T2k，可知土卫一的轨道半径 R1、周期 T1 与土卫三的轨道半径 R2、周期 T2，满足R31T21R32T22，所以 R23 T22T21R1(3 2)21.8105 km2.9105 km。(2)根据土卫一绕土星运动有 GMmR21 mR142T21，可得土星质量M 42R31GT2143.1421.810836.671011233 6002 kg 51026 kg。答案(1)2.9105 km(2)51026 kg跟进训练2.(2017山东济宁模拟
8、)如图所示，人造卫星 P(可视为质点)绕地球做匀速圆周运动。在卫星运动轨道平面内，过卫星 P 作地球的两条切线，两条切线的夹角为，设卫星 P 绕地球运动的周期为 T，线速度为 v，引力常量为 G。下列说法正确的是()A 越大，T 越大B 越小，v 越大C若测得 T 和，则地球的平均密度为 3GT2tan23D若测得 T 和，则地球的平均密度为 3GT2sin 23解析：选 D 地球半径不变，夹角 越大，卫星的轨道半径越小，则 T 就越小，A 错误；夹角 越小，卫星的轨道半径越大，v 就越小，B 错误；若测得 T和，由万有引力充当向心力，有 GMmr2 m42T2 r，求得地球的质量 M42r3
9、GT2，地球的体积 V43R3，由几何关系得Rrsin 2，联立解得 3GT2sin 23，C 错误，D 正确。|宇宙双星及多星问题题型简述宇宙中两个星球相距较近而离其他星球较远，仅在相互间的万有引力作用下绕它们连线上的某一固定点做匀速圆周运动，因而不至于因引力作用而吸引在一起，这种结构叫做双星。方法突破把握双星的特点是解决本类题的关键：(1)每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的。(2)由于双星和环绕的固定点总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即双星做匀速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相同。所以，双星模型的典型特征是双星的向心力大小相等、运行周期相等、角速度
10、相等。例 3(2017安徽马鞍山三校联考)天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为 T，两颗恒星之间的距离为 r，试推算这个双星系统的总质量。(引力常量为 G)解析 设两颗恒星的质量分别为 m1、m2，做圆周运动的半径分别为 r1、r2，角速度分别为 1、2，根据题意有12r1r2r根据万有引力定律和牛顿第二定律，有Gm1m2r2 m121r1Gm1m2r2 m222r2联立以上各式得 Gm1m2r2r121r22
11、2根据角速度与周期的关系知 122T联立以上各式解得 m1m242r3GT2。答案 42r3GT2名师指津 双星系统由相互之间的万有引力充当向心力，和其他星体系统的区别是双星系统没有中心天体，两个星体都在做匀速圆周运动，中心是两星体连线上的一点，即r1r2r，列方程时要注意两星体间的距离与匀速圆周运动的半径的区别；双星系统中的两个星体就像是固定在一个杆的两端，绕杆上的某点做圆周运动，所以两个星体的角速度(周期)相等。跟进训练3(多选)(2017广州执信中学检测)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基
12、本的构成形式(如图)：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为 R 的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三颗星的质量均为 M，并设两种系统的运动周期相同，则()A直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同B直线三星系统的运动周期 T4RR5GMC三角形三星系统中星体间的距离 L3 125 RD三角形三星系统的线速度大小为125GMR解析：选 BC 直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相同，方向相反，选项 A 错误；三星系统中，对直线三 星 系 统 有 G M2R2 G M22R2 M 42T2 R，解 得 T 4RR5GM，选项 B 正确；对三角形三星系统根据万有引力定律得 2GM2L2cos 30M42T2 L2cos 30，联立解得 L3 125 R，选项 C 正确；三角形三星系统的线速度大小为 v2rT 2L2cos 30T，代入解得 v 36 3 125 5GMR，选项 D 错误。
