1、第6节解三角形考试要求1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.知 识 梳 理1.正、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式2Ra2b2c22bccos A；b2c2a22cacos B；c2a2b22abcos C常见变形(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)sin A，sin B，sin C；(3)abcsin Asin Bsin C；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，
2、asin Ccsin Acos A；cos B；cos C2.在ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aabab解的个数一解两解一解一解无解3.三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示a边上的高).(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A.(3)Sr(abc)(r为内切圆半径).4.测量中的几个术语(1)仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).(2)方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为(如图2)
3、.(3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30，北偏西45等.(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.常用结论与微点提醒1.三角形中的三角函数关系(1)sin(AB)sin C；(2)cos(AB)cos C；(3)sincos；(4)cossin.2.三角形中的射影定理在ABC中，abcos Cccos B；bacos Cccos A；cbcos Aacos B.3.在ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，ABabsin Asin Bcos Asin B，则AB.()(3)
4、在ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.()(4)当b2c2a20时，ABC为锐角三角形；当b2c2a20时，ABC为直角三角形；当b2c2a20时，ABC不一定为锐角三角形.答案(1)(2)(3)(4)2.(新教材必修第二册P44例6改编)在ABC中，a2，b3，c4，则cos B()A. B. C. D.解析由余弦定理知cos B.答案A3.(老教材必修5P11例1改编)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A，B两点的距离为()A.50 m B.50 m C.25 m D.
5、m解析在ABC中，由正弦定理得，又CBA1804510530，AB50(m).答案A4.(2019安庆二模)若ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin 2Aasin B，且c2b，则等于()A. B. C. D.解析由bsin 2Aasin B，及正弦定理得2sin Bsin Acos Asin Asin B，得cos A.又c2b，所以由余弦定理得a2b2c22bccos Ab24b24b23b2，得.故选D.答案D5.(2018全国卷)在ABC中，cos ，BC1，AC5，则AB()A.4 B.C. D.2解析由题意得cos C2cos2 121.在ABC中，由余弦定理
6、得AB2AC2BC22ACBCcos C521225132，所以AB4.答案A6.(2017浙江卷)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6_.解析作出单位圆的内接正六边形，如图，则OAOBAB1，S6612sin 60.答案第一课时正弦定理和余弦定理考点一利用正、余弦定理解三角形【例1】 (1)(2019郑州二模)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2cos2cos 2C1，4sin B3sin A，
7、ab1，则c的值为()A. B. C. D.6(2)(2020衡水模拟)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a1，sin Acos C(sin Cb)cos A0，则A_.解析(1)由2cos2cos 2C1，可得2cos21cos 2C0，则有cos 2Ccos C0，即2cos2Ccos C10，解得cos C或cos C1(舍)，由4sin B3sin A，得4b3a，又ab1，联立，得a4，b3，所以c2a2b22abcos C1691213，则c.(2)由sin Acos C(sin Cb)cos A0，得sin Acos Csin Ccos Abcos A，所以s
8、in(AC)bcos A，即sin Bbcos A，又，所以，从而tan A，又因为0A，所以A.答案(1)A(2)规律方法利用正弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边与角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断).利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三边求各个角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的.【训练1】 (1)在ABC中，已知a2，b，A45，则满足条件的三角形有()A.1个 B.2个 C.0个 D.无法确定(2)(
9、2020沈阳质检)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin C2sin Ccos Bsin A，C，a，cos B，则b_.解析(1)bsin A，bsin Aa0，sin A1，即A，ABC为直角三角形.答案(1)C(2)B规律方法1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.【训练2】 (1)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b
10、，c，若cos A，则ABC为()A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.等边三角形(2)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，(bca)(bca)3bc，则ABC的形状为()A.直角三角形 B.等腰非等边三角形C.等边三角形 D.钝角三角形解析(1)由cos A，得0，所以sin Csin Bcos A，即sin(AB)sin Bcos A，所以sin Acos B0，所以cos B0，即B为钝角，所以ABC为钝角三角形.(2)，bc.又(bca)(bca)3bc，b2c2a2bc，cos A.A(0，)，A，ABC是等边三角形.答案(1)A(2)C考点三和三角形面积
11、有关的问题【例3】 (2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin bsin A.(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围.解(1)由题设及正弦定理得sin Asinsin Bsin A.因为sin A0，所以sinsin B.由ABC180，可得sincos，故cos2sincos.因为cos0，所以sin，所以B60.(2)由题设及(1)知ABC的面积SABCa.由(1)知AC120，由正弦定理得a.由于ABC为锐角三角形，故0A90，0C90.结合AC120，得30C90，所以a2，从而SABC.因此，ABC面积的取值范围是.规
12、律方法与三角形面积有关问题的解题策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.【训练3】 (2019西安二模)已知ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2c2a2c(acos Cccos A).(1)求角A的大小；(2)若ABC的面积为，且a3，求ABC的周长.解(1)b2c2a2c(acos Cccos A)可化为b2c2a2c，即得1，所以，所以cos A.又因为A为ABC的内角，所以A60.(2)根据题意，得SABCbcsin Abc，所以bc.由余弦定理得a2b2c
13、22bccos A(bc)22bc2bccos 60(bc)23bc(bc)2169.解得bc5，所以ABC的周长为abc8.数学抽象、数学运算二级结论之射影定理的活用赏析设ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则有：abcos Cccos B；bccos Aacos C；cacos Bbcos A.注：以“abcos Cccos B”为例，b，c在a上的射影分别为bcos C，ccos B，故名射影定理.证明如图，在ABC中，ADBC，则bcos CCD，ccos BBD，故bcos Cccos BCDBDBCa，即abcos Cccos B，同理可证bccos Aacos
14、 C，cacos Bbcos A.【例1】 (2017山东卷)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC为锐角三角形，且满足sin B(12cos C)2sin Acos Ccos A sin C，则下列等式成立的是()A.a2b B.b2a C.A2B D.B2A通性通法法一因为sin B(12cos C)2sin Acos Ccos Asin C，所以sin B2sin Bcos Csin Acos Csin(AC)，所以sin B2sin Bcos Csin Acos Csin B，即cos C(2sin Bsin A)0，所以cos C0或2sin Bsin A，即C90
15、或2ba，又ABC为锐角三角形，所以0Cc2，故2ba，故选A.应用示范由正弦定理及sin B(12cos C)2sin Acos Ccos Asin C得b2bcos C2acos Cccos Aacos C(acos Cccos A)acos Cb，即2bcos Cacos C，又因为ABC为锐角三角形，所以cos C0，则2ba.答案A【例2】 (2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos Bacos Cccos A，则B_.通性通法依题意得2bac，即a2c2b2ac，所以2accos Bac0，cos B.又0B，所以B.应用示范由射影定理得acos
16、Cccos Ab，又2bcos Bacos Cccos A，则2bcos Bb，即cos B，又B(0，)，故B.答案思维升华射影定理和正、余弦定理一样实现了边角之间的转换，运用射影定理整体代入，大大简化了运算过程，取得了事半功倍的神奇效果.A级基础巩固一、选择题1.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a，c2，cos A，则b()A. B. C.2 D.3解析由余弦定理，得5b2222b2，解得b3.答案D2.(2020唐山一模)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2，b3，c4，设AB边上的高为h，则h()A. B. C. D.解析由余弦定理，得cos A，则s
17、in A，则hACsin Absin A3，故选D.答案D3.(2019厦门一模)在ABC中，cos B，b2，sin C2sin A，则ABC的面积等于()A. B. C. D.解析由正弦定理及sin C2sin A得c2a，由余弦定理得b2a2c22accos Ba24a22a2a4a24，解得a1，可得c2，所以ABC的面积为Sacsin B12.答案D4.在ABC中，cos2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析因为cos2，所以2cos211，所以cos B，即，所以c2a2b2.所以A
18、BC为直角三角形.答案B5.(2019武汉调研)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知ab，AB，则角C()A. B. C. D.解析由题意得AB，所以sin Asincos B，又ab，所以由正弦定理得sin Asin B，故cos Bsin B，所以tan B，因为B(0，)，所以B，所以C.答案B二、填空题6.(多填题)(2018浙江卷)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a，b2，A60，则sin B_，c_.解析由正弦定理，得sin Bsin A，又a2b2c22bccos A，c22c30，解得c3(c1舍去).答案37.(2019全国卷)ABC的内角
19、A，B，C的对边分别为a，b，c.若b6，a2c，B，则ABC的面积为_.解析由余弦定理b2a2c22accos B，得364c2c222c2，解得c2，所以a4，所以SABCacsin B426.答案68.(2020西安质检)在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos B，b4，SABC4，则ABC的周长为_.解析由cos B，得sin B，由三角形面积公式可得acsin Bac4，则ac12，由b2a2c22accos B，可得16a2c2212，则a2c224，联立可得ac2，所以ABC的周长为44.答案44三、解答题9.(2018北京卷)在ABC中，a7，b8，co
20、s B.(1)求A；(2)求AC边上的高.解(1)在ABC中，因为cos B，所以sin B.由正弦定理得sin A.由题设知B，所以0A.所以A.(2)在ABC中，因为sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，所以AC边上的高为asin C7.10.(开放题)在ABC中，a2，b6，_，求ABC的周长l及面积SABC.在A30，C30，B60这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解选条件：a2，b6，ab，A3090，又因为bsin A6sin 303，bsin Aaa，BA，0B180，所以B60或12
21、0，当B60时，C90，c4，labc26466，SABCab6；当B120时，C30，ca2，labc64，SABCabsin C26sin 303.选条件：a2，b6，C30，由余弦定理，得c2a2b22abcos C123622612，c2，则labc64，SABCabsin C3.选条件：a2，b6，ab，B60，AB，又由正弦定理，得sin A，A30，C90，c4，labc66，SABCab6.B级能力提升11.(2020郴州一模)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2c2bca2，bca2，则角C的大小是()A.或 B.C. D.解析由b2c2bca2，得b2c2
22、a2bc，则cos A，因为0A，所以A，由bca2及正弦定理，得sin Bsin Csin2A，即4sin(CA)sin C，即4sin(CA)sin C4sinsin C，整理得cos 2Csin 2C，则tan 2C，又02C，即2C或，即C或.答案A12.(2020长春一模)在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos Asin Acos C，且a2，则ABC面积的最大值为_.解析因为cos Asin Acos C，所以bcos Asin Ccos Asin Acos C，所以bcos Asin(AC)，所以bcos Asin B，所以，又，a2，所以，得tan A，
23、又A(0，)，则A，由余弦定理得(2)2b2c22bcb2c2bc2bcbcbc，即bc12，当且仅当bc2时取等号，从而ABC面积的最大值为123.答案313.(多填题)(2019浙江卷)在ABC中，ABC90，AB4，BC3，点D在线段AC上.若BDC45，则BD_，cosABD_.解析如图，易知sin C，cos C.在BDC中，由正弦定理可得，BD.由ABCABDCBD90，可得cos ABDcos(90CBD)sin CBDsin(CBDC)sin(CBDC)sin Ccos BDCcos Csin BDC.答案14.(2018天津卷)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，
24、c.已知bsin Aacos.(1)求角B的大小；(2)设a2，c3，求b和sin(2AB)的值.解(1)在ABC中，由正弦定理，得bsin Aasin B，又由bsin Aacos，得asin Bacos，即sin Bcos，可得tan B.又因为B(0，)，可得B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，有b2a2c22accos B7，故b.由bsin Aacos，可得sin A.因为ac，故cos A.因此sin 2A2sin Acos A，cos 2A2cos2A1.所以，sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B.C级创新猜想15.(新背景题)(2020合肥模拟)我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为S.若a2sin C4sin A，(ac)212b2，则用“三斜求积”公式求得ABC的面积为_.解析根据正弦定理及a2sin C4sin A，可得ac4，由(ac)212b2，可得a2c2b24，所以SABC.答案