1、学习目标1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题知识点数学归纳法对于一个与正整数有关的等式n(n1)(n2)(n50)0.思考1验证当n1，n2，n50时等式成立吗？答案成立思考2能否通过以上等式归纳出当n51时等式也成立？为什么？答案不能，上面的等式只对n取1至50的正整数成立梳理(1)数学归纳法的定义用来证明某些与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：验证：当n取第一个值n0(如n01或2等)时，命题成立；在假设当nk(kn0，kN)时命题成立的前提下，推出当nk1时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立这种证明方法叫作数学归
2、纳法(2)数学归纳法的框图表示类型一用数学归纳法证明等式例1(1)用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN)，“从k到k1”左端增乘的代数式为_答案2(2k1)(2)用数学归纳法证明当nN时，1.证明当n1时，左边1，右边.左边右边，等式成立假设当nk(kN，k1)时，等式成立，即1，当nk1时，1().当nk1时，等式成立由可知，对一切nN等式成立反思与感悟数学归纳法证题的三个关键点(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.(2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k1”的过程中，要正确分析式子项数的变化关键是弄清等式两
3、边的构成规律，弄清由nk到nk1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项(3)利用假设是核心：在第二步证明当nk1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“当nk时命题成立”作为条件来导出“nk1”，在书写f(k1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法跟踪训练1用数学归纳法证明：135(2n3)(2n1)(2n3)5312n22n1.证明(1)当n1时，左边1，右边2122111，等式成立(2)假设当nk(kN)时，等式成立，即135(2k3)(2k1)(2k3)5312k22k1，则当nk1时，左边13
4、5(2k3)(2k1)(2k1)(2k1)(2k3)5312k22k1(2k1)(2k1)2k22k12(k1)22(k1)1.即当nk1时，等式成立由(1)(2)知，对任意nN，等式都成立类型二利用数学归纳法证明不等式例2求证：(n2，nN)证明(1)当n2时，左边，故左边右边，不等式成立(2)假设当nk(k2，kN)时，命题成立，即，则当nk1时，()()(*)方法一(分析法)下面证(*)式，即0，只需证(3k2)(3k3)(3k1)(3k3)(3k1)(3k2)3(3k1)(3k2)0，只需证(9k215k6)(9k212k3)(9k29k2)(27k227k6)0，只需证9k50，显然
5、成立所以当nk1时，不等式也成立方法二(放缩法)(*)式(3)，所以当nk1时，不等式也成立由(1)(2)可知，原不等式对一切n2，nN均成立引申探究把本例改为求证：(nN)证明(1)当n1时，左边，不等式成立(2)假设当nk(kN，k1)时，不等式成立，即，则当nk1时，0，当nk1时，不等式成立由(1)(2)知，对于任意正整数n，不等式均成立反思与感悟用数学归纳法证明不等式的四个关键(1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若nk(k为正整数)，则n0k1.(2)证明不等式的第二步中，从nk到nk1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设
6、(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由当nk时成立得当nk1时成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等跟踪训练2用数学归纳法证明对一切nN，1.证明(1)当n1时，左边1，右边1，不等式成立(2)假设当nk(k1，kN)时，不等式成立，即1，则当nk1时，要证1，只需证.因为0，所以，即1，所以当nk1时，不等式成立由(1)(2)
7、知，不等式对一切nN都成立类型三归纳猜想证明例3已知数列an的前n项和为Sn，其中an，且a1.(1)求a2，a3；(2)猜想数列an的通项公式，并证明解(1)a2，a1，则a2，同理求得a3.(2)由a1，a2，a3，猜想an.证明：当n1时，a1a1，等式成立；假设当nk(k1，kN)时猜想成立，即ak，那么当nk1时，由题设an，得ak，ak1，所以Skk(2k1)akk(2k1).Sk1(k1)(2k1)ak1，ak1Sk1Sk(k1)(2k1)ak1，因此，k(2k3)ak1，所以ak1.所以当nk1时，命题成立由可知，命题对任何nN都成立反思与感悟(1)“归纳猜想证明”的解题步骤(
8、2)归纳法的作用归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方法归纳法帮助我们提出猜想，而数学归纳法的作用是证明猜想“观察猜想证明”是解答与自然数有关命题的有效途径跟踪训练3设a0，f(x)，令a11，an1f(an)，nN.(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想an的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论解(1)因为a11，an1f(an)，所以a2f(a1)f(1)，a3f(a2)f()，a4f(a3)f()，猜想an(nN)(2)易知当n1时，结论成立；假设当nk (k1，kN)时，猜想成立，即ak.则当nk1时，ak1f(ak)，即当nk1时，猜想也成立由知，对一切nN，都有an.1用
9、数学归纳法证明12(n2，nN)的第一步需证明()A12B12C12D12的自然数n都成立B该命题对于所有的正偶数都成立C该命题何时成立与k取值无关D以上答案都不对答案B解析由当nk时命题成立，可以推出当nk2时命题也成立，且n2.故对所有的正偶数都成立3设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”，那么，下列命题总成立的是()A若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立B若f(5)25成立，则当k5时，均有f(k)k2成立C若f(7)49成立，则当k8时，均有f(k)k2成立D若f(4)25成立，则当k4时，均有f(k
10、)k2成立答案D解析对于D，f(4)2542，当k4时，均有f(k)k2.4设Sk，则Sk1为()ASkBSkCSkDSk答案C解析Sk1SkSk.5已知f(n)，则()Af(n)中共有n项，当n2时，f(2)Bf(n)中共有n1项，当n2时，f(2)Cf(n)中共有n2n项，当n2时，f(2)Df(n)中共有n2n1项，当n2时，f(2)答案D解析观察分母的首项为n，最后一项为n2，公差为1，项数为n2n1.6在数列an中，a12，an1(nN)，依次计算a2，a3，a4，归纳推测出an的通项表达式为()A.B.C.D.答案B解析由a12，a2，a3，a4，可推测an，故选B.7某同学回答“
11、用数学归纳法证明n1(nN)”的过程如下：证明：(1)当n1时，显然命题是正确的；(2)假设当nk(k1，kN)时，有k1，那么当nk1时，(k1)1，所以当nk1时，命题成立由(1)(2)可知对于任意nN命题成立以上证法是错误的，错误在于()A从k到k1的推理过程没有使用归纳假设B归纳假设的写法不正确C从k到k1的推理不严密D当n1时，验证过程不具体答案A二、填空题8用数学归纳法证明：1，第一步应验证的等式是_答案19用数学归纳法证明关于n的恒等式，当nk时，表达式为1427k(3k1)k(k1)2，则当nk1时，表达式为_答案1427k(3k1)(k1)(3k4)(k1)(k2)210证明
12、：假设当nk(kN)时等式成立，即242kk2k，则当nk1时，242k2(k1)k2k2(k1)(k1)2(k1)，即当nk1时，等式也成立因此对于任何nN等式都成立以上用数学归纳法证明“242nn2n(nN)”的过程中的错误为_答案缺少步骤归纳奠基三、解答题11用数学归纳法证明(1)(1)(1)(1)(n2，nN)证明(1)当n2时，左边1，右边，所以左边右边，所以当n2时等式成立(2)假设当nk(k2，kN)时等式成立，即(1)(1)(1)(1)，那么当nk1时，(1)(1)(1)(1)11，即当nk1时，等式成立综合(1)(2)知，对任意n2，nN，等式恒成立12用数学归纳法证明：1(
13、n2，nN)证明(1)当n2时，左式，右式1.因为，所以不等式成立(2)假设当nk(k2，kN)时，不等式成立，即1，则当nk1时，1110(nN)，Sn为数列an的前n项和，并且满足Sn(an)，求S1，S2，S3的值，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法证明解由an0，得Sn0，由a1S1(a1)，整理得a1，取正根得a11，所以S11.由S2(a2)及a2S2S1S21，得S2(S21)，整理得S2，取正根得S2.同理可求得S3.由此猜想Sn(nN)用数学归纳法证明如下：(1)当n1时，上面已求出S11，结论成立(2)假设当nk(kN)时，结论成立，即Sk.那么，当nk1时，Sk1(ak1)(Sk1Sk)(Sk1)整理得Sk1，取正根得Sk1.即当nk1时，结论也成立由(1)(2)可知，对任意nN，Sn都成立