1、基础达标1.关于渐开线和摆线的叙述，正确的是()A.只有圆才有渐开线B.渐开线和摆线 的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C.正方形也可以有渐开线D.对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同答案：C解析：不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同.对于同一个圆不论在什么地方建立直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同.2.已知一个圆的参数方程为 (t为参数)，那么圆的摆线方程中与参数t对应的点
2、A与点B之间的距离为()A.1 B. C. D. 答案：C解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为 (t为参数)，把t代入参数方程中可得即A，|AB| .3.直线(t为参数)的倾斜角是()A.20 B.70 C.110 D.160答案：C解析：由于kcot 20tan 70tan 110，直线的倾斜角为110.4.曲线(t为参数)的焦点坐标为_.答案：(0，1)解析：将参数方程化为普通方程(y1)24(x1)，焦点坐标为(0，1).5.若x2y24，则xy的最大值是_.答案：2解析：x2y24的参数方程为(为参数)，xy2cos 2sin 2cos，最大值为2.6.求
3、摆线 (0t2)与直线y2交点的直角坐标.解：当y2时，有2(1cos t)2，cos t0.又0t2，t或t.当t时，x2，y2；当t时，x32，y2.摆线与直线y2的交点为(2，2)，(32，2).综合提高7.圆的渐开线上与t对应的点直角坐标为()A. B.C. D.答案：A解析：当t时，x1，y1.8.如图所示，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH叫做“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH长是()A.3 B.4C.5 D.6答案：C解析：根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的
4、圆周长，长度为；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2.所以曲线AEFGH的长是5.9.渐开线 (t为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的曲线的焦点坐标为_.答案：(6，0)和(6，0)解析：根据圆的渐开线方程可知基圆的半径a6，其方程为x2y236，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为y236，整理可得1，这是一个焦点在x轴上的椭圆.c6，故焦点坐标为(6，0)和(6，0).10.我们知道关于直线yx对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线 (t为参数)关于直线yx对称的曲线的参数方程为_.答案： (t为参数)
5、解析：关于直线yx对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换.所以要写出摆线方程关于直线yx的对称曲线方程，只需把其中的x与y互换.11.已知圆C的参数方程是 (为参数)和直线l对应的普通方程是xy60.(1)如果把圆心平移到原点O，请问平移后圆和直线有什么关系？(2)写出平移后圆的摆线方程；(3)求摆线和x轴的交点.解：(1)圆C平移后圆心为O(0，0)，它到直线xy60的距离为d6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的.(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线方程是(t为参数).(3)令y0，得66cos t0cos t1，所以t2k(kZ).代入x6t6sin t，得x12k(kZ)，即圆的摆线和x轴的交点为(12k，0) (kZ).12.(创新拓展)设圆的半径为8，沿x轴正向滚动，开始时圆与x轴相切于原点O，记圆上动点为M，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y的最大值，说明该曲线的对称轴.解：轨迹曲线的参数方程为(0t2).即t时，即x8时，y有最大值16.第一拱(0t2)的对称轴为x8.