1、高考资源网（） 您身边的高考专家第二节导数的应用最新考纲考情分析核心素养1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题).应用导数判断函数的单调性，求函数的单调区间仍为2021年高考考查的热点，题型是选择题、填空题或解答题.利用导数求函数的极值、最值以及求解极值和最值的综合问题仍是2021年高考考查的热点，
2、题型仍将是解答题，分值12分，或者填空题、选择题，分值为5到10分.1.逻辑推理2.数学运算知识梳理1函数的导数与单调性的关系函数yf(x)在某个区间内可导，则(1)若f(x)0，则f(x)在这个区间内单调递增(2)若f(x)0，则f(x)在这个区间内单调递减(3)若f(x)0，则f(x)在这个区间内是常数函数2函数的极值与导数(1)函数的极小值若函数yf(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，且f(a)0，而且在点xa附近的左侧f(x)0，则xa叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值(2)函数的极大值若函数yf(x)在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近
3、其他点的函数值都大，且f(b)0，而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0在(a，b)上恒成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件(2)对于可导函数f(x)，“f(x0)0”是“函数f(x)在xx0处有极值”的必要不充分条件如函数yx3在x0处导数为零，但x0不是函数yx3的极值点(3)求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值(4)函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系基础自测一、疑误辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若函数f(x)在(a，b)
4、内单调递增，那么一定有f(x)0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性()(3)函数的极大值不一定比极小值大()(4)对可导函数f(x)，f(x0)0是点x0为极值点的充要条件()(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、走进教材2(选修22P32A4改编)如图是f(x)的导函数f(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为()A1B2C3D4答案：A3(选修22P32A5(4)改编)函数f(x)2xxln x的极值是()ABCeDe2答案：C三、易错自纠4(2019届济宁模拟)函数f
5、(x)x2ln x的最小值为()AB1C0D不存在解析：选A由题意，得f(x)x，且x0.令f(x)0，得x1；令f(x)0，得0x1，00)，当f(x)0时，解得x，即函数f(x)的单调递增区间为；当f(x)0时，解得0x，即函数f(x)的单调递减区间为，故选D2若幂函数f(x)的图象过点，则函数g(x)exf(x)的单调递减区间为_解析：设幂函数f(x)xa，因为图象过点，所以，解得a2，所以f(x)x2，故g(x)exx2，则g(x)exx22exxex(x22x)，令g(x)0，得2x0(x(，)，得x或0x0或f(x)2时，令f(x)0，得x或x.当x时，f(x)0.所以f(x)在，
6、上单调递减，在上单调递增综合可知，当a2时，f(x)在(0，)上单调递减；当a2时，f(x)在，上单调递减，在上单调递增名师点津讨论函数f(x)单调性的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)，并求方程f(x)0的根；(3)利用f(x)0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f(x)的正负，由符号确定f(x)在该区间上的单调性提醒研究含参数的函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论|跟踪训练|已知函数f(x)ex(exa)a2x.讨论f(x)的单调性解：(分类讨论思想)函数f(x)的定义域为(，)，f(x)2e2xaexa2(2exa)(
7、exa)若a0，则f(x)e2x在(，)单调递增；若a0，则由f(x)0，得xln a.当x(，ln a)时，f(x)0.故f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增；若a0 ，则由f(x)0，得xln.当x时，f(x)0.故f(x)在上单调递减，在上单调递增命题角度一比较大小或解不等式【例2】(1)已知定义在(0，)上的函数f(x)的导函数为f(x)，且f(x)(xln x2)2f(x)，则()A6f(e)2f(e3)3f(e2)B6f(e)3f(e2)3f(e2)2f(e3)D6f(e)2f(e3)x的解集是()A(0，e)BCD(e，)解析(1)设F(x)，x0且x1
8、，因为f(x)(xln x2)2f(x)，所以F(x)0，所以F(x)在(0，1)，(1，)上单调递增，所以F(e)F(e2)F(e3)，故，即，所以6f(e)3f(e2)2f(e3)故选B(2)令g(x)xf(x)，则f(x)，g(x)xf(x)f(x)，f(x)，令h(x)ln xg(x)，则h(x)g(x)，当0x0；当xe时，h(x)0，h(x)h(e)1g(e)1ef(e)0，f(x)0.令(x)f(x)x，则(x)f(x)11x可化为(x)(e)，0xe，故选A答案(1)B(2)A名师点津利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转
9、化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式命题角度二已知函数的单调性求参数变式探究【例3】已知函数f(x)ln x，g(x)ax22x(aR)(1)若函数h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围；(2)若函数h(x)f(x)g(x)在1，4上单调递减，求实数a的取值范围解(1)因为h(x)ln xax22x，x(0，)，所以h(x)ax2，由于h(x)在(0，)上存在单调递减区间，所以当x(0，)时，ax2有解设G(x)，所以只要aG(x)min即可而G(x)1，所以G(x)min1.所以a1，即实数a的取值范围是(1，)(2)由h(x)在1，4上单调
10、递减得，当x1，4时，h(x)ax20恒成立，即a恒成立所以aG(x)max，而G(x)1，因为x1，4，所以，所以G(x)max(此时x4)，所以a，即实数a的取值范围是.|变式探究|1(变问法)若函数h(x)f(x)g(x)在1，4上单调递增，求实数a的取值范围解：由h(x)在1，4上单调递增得，当x1，4时，h(x)0恒成立，所以当x1，4时，a恒成立又当x1，4时，1(此时x1)，所以a1，即实数a的取值范围是(，12(变问法)若h(x)在1，4上存在单调递减区间，求实数a的取值范围解：若h(x)在1，4上存在单调递减区间，则h(x)有解又当x1，4时，1，所以a1，即实数a的取值范围
11、是(1，)3(变条件)若函数h(x)在1，4上不单调，求实数a的取值范围解：h(x)在1，4上不单调，h(x)0在(1，4)上有解，即a1有解令m(x)1，x(1，4)，则1m(x)，实数a的取值范围为.名师点津利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路(1)由函数在区间a，b上单调递增(减)可知f(x)0(f(x)0)在区间a，b上恒成立列出不等式(2)利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题(3)对等号单独检验，检验参数的取值能否使f(x)在整个区间恒等于0，若f(x)恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f(x)0，则参数可取这个值提醒f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任意一个非空子区间上f(x)0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解- 9 - 版权所有高考资源网
