1、32.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义学习目标1.熟练掌握复数的代数形式的加、减运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题知识点一复数代数形式的加减法思考1类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？答案两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(abi)(cdi)(ac)(bd)i.思考2复数的加法满足交换律和结合律吗？答案满足梳理(1)运算法则设z1abi，z2cdi是任意两个复数，那么(abi)(cdi)(ac)(bd)i，(abi)(cdi)(ac)(bd)i.(2)加法运算律对任意z1，z2，z3C，有z1z2z2z1
2、，(z1z2)z3z1(z2z3)知识点二复数加减法的几何意义思考1复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？答案如图，设，分别与复数abi，cdi对应，则(a，b)，(c，d)，由平面向量的坐标运算，得(ac，bd)，所以与复数(ac)(bd)i对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行思考2怎样作出与复数z1z2对应的向量？答案z1z2可以看作z1(z2)因为复数的加法可以按照向量的加法来进行所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z1z2对应的向量(如图)图中对应复数z1，对应复数z2，则对应复数z1z2.梳理复数加法的几何意义复数z1z2是以
3、，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数复数减法的几何意义复数z1z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数类型一复数的加法、减法运算例1(1)若z12i，z23ai(aR)，复数z1z2所对应的点在实轴上，则a_.(2)已知复数z满足|z|iz13i，则z_.答案(1)1(2)1i解析(1)z1z2(2i)(3ai)5(a1)i，由题意得a10，则a1.(2)设zxyi(x，yR)，则|z|，|z|izixyix(y)i13i，解得z1i.反思与感悟(1)复数的加减运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减(2)当一个等式中同时含有|z|与z时，一般用待定系数法，设zxyi(x，yR
4、)跟踪训练1(1)若复数z满足zi33i，则z_.(2)(abi)(2a3bi)3i_(a，bR)(3)已知复数z满足|z|z13i，则z_.答案(1)62i(2)a(4b3)i(3)43i解析(1)zi33i，z62i.(2)(abi)(2a3bi)3i(a2a)(b3b3)ia(4b3)i.(3)设zxyi(x，yR)，|z|，|z|z(x)yi13i，解得z43i.类型二复数加、减法的几何意义例2(1)如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应的复数为0，32i，24i.求：表示的复数；表示的复数；表示的复数解A，C对应的复数分别为32i，24i，由复数的几何意义，知与表示的复
5、数分别为32i，24i.因为，所以表示的复数为32i.因为，所以表示的复数为(32i)(24i)52i.，所以表示的复数为(32i)(24i)16i.(2)已知z1，z2C，|z1|z2|1，|z1z2|，求|z1z2|.解根据复数加减法的几何意义，由|z1|z2|知，以，为邻边的平行四边形OACB是菱形如图，对应的复数为z1，对应的复数为z2，|，对应的复数为z1z2，|.在AOC中，|1，|，AOC30.同理得BOC30，OAB为等边三角形，则|1，对应的复数为z1z2，|z1z2|1.引申探究若将本例(2)中的条件“|z1z2|”改为“|z1z2|1”，求|z1z2|.解如例2(2)图，
6、向量表示的复数为z1z2，|1，则AOB为等边三角形，AOC30，则，|，表示的复数为z1z2，|z1z2|.反思与感悟(1)技巧：形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理；数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中(2)常见结论：在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1z2对应的点为C，O为坐标原点四边形OACB为平行四边形；若|z1z2|z1z2|，则四边形OACB为矩形；若|z1|z2|，则四边形OACB为菱形；若|z1|z2|且|z1z2|z1z2|，则四边形OACB为正方形跟踪训练2(1)已知复平面内的平面向量，表示的
7、复数分别是2i,32i，则|_.(2)若z12i，z23ai，复数z2z1所对应的点在第四象限上，则实数a的取值范围是_答案(1)(2)(，1)解析(1)，表示的复数为(2i)(32i)13i，|.(2)z2z11(a1)i，由题意知a10，即a1.1已知复数z1i和复数z2cos60isin60，则z1z2等于()A1B1C.iD.i答案A解析z1z21.2设z134i，z223i，则z1z2在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限答案D解析z1z257i，z1z2在平面内对应的点位于第四象限3在复平面内，O是原点，表示的复数分别为2i，32i,15i，则表示的复数
8、为()A28iB66iC44iD42i答案C解析()44i.4已知复数z1(a22)(a4)i，z2a(a22)i(aR)，且z1z2为纯虚数，则a_.答案1解析z1z2(a2a2)(a4a22)i(aR)为纯虚数，解得a1.5设平行四边形ABCD在复平面内，A为原点，B，D两点对应的复数分别是32i和24i，则点C对应的复数是_答案52i解析设AC与BD的交点为E，则E点坐标为(，1)，设点C坐标为(x，y)，则x5，y2，故点C对应的复数为52i.1复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算2复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减
9、法的三角形法则课时作业一、选择题1实数x，y满足z1yxi，z2yix，且z1z22，则xy的值是()A1B2C2D1答案A解析z1z2(yx)(xy)i2，即xy1，则xy1.2已知复数z1(a22)3ai，z2a(a22)i，若z1z2是纯虚数，那么实数a的值为()A1B2C2D2或1答案C解析z1z2(a2a2)(a23a2)i，由题意知得a2.3设复数z满足关系式z|z|2i，那么z等于()AiB.iCiD.i答案D解析设zabi(a，bR)，则z|z|(a)bi2i，则解得zi.4复数满足(a3i)(2i)5bi，则ab等于()A4B7C8D5答案D解析由(a3i)(2i)5bi，得
10、a22i5bi，则a25且b2，解得a3，b2，则ab325.故选D.5设f(z)|z|，z134i，z22i，则f(z1z2)等于()A.B5C.D5答案D解析z1z255i，f(z1z2)|z1z2|5.6在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为13i，i，2i，若，则点D表示的复数是()A13iB3iC35iD53i答案C解析点A，B，C对应的复数分别为13i，i,2i，对应的复数为22i.设D(x，y)，(x1，y3)(2,2)，解得点D表示的复数为35i.7已知复数z对应的向量如图所示，则复数z1所对应的向量正确的是()答案A解析由图知z2i，则z11i，由复数的几何意义可知，A是正
11、确的二、填空题8已知x，yR，i为虚数单位，(x2)i3y1i，则xy(xy)i_.答案13i解析依据复数相等的条件，得即所以xy(xyi)13i.9若复数z满足z|z|34i，则z_.答案4i解析设zabi(a，bR)z|z|34i，abi34i，解得z4i.10已知z1(3xy)(y4x)i(x，yR)，z2(4y2x)(5x3y)i(x，yR)设zz1z2，且z132i，则z1_，z2_.答案59i87i解析zz1z2(3xy4y2x)(y4x5x3y)i(5x3y)(x4y)i132i，解得z159i，z287i.11已知复数(x2)yi(x，yR)的模为，则的最大值为_答案解析|x2
12、yi|，(x2)2y23，故(x，y)在以C(2,0)为圆心，为半径的圆上，表示圆上的点(x，y)与原点连线的斜率如图，由平面几何知识，易知的最大值为.三、解答题12计算：(1)(12i)(34i)(56i)；(2)5i(34i)(13i)解(1)(12i)(34i)(56i)(135)(246)i18i.(2)5i(34i)(13i)5i(4i)44i.13设mR，复数z1(m15)i，z22m(m3)i，若z1z2是虚数，求m的取值范围解z1(m15)i，z22m(m3)i，z1z2(m15)m(m3)i(m22m15)i.z1z2为虚数，m22m150且m2，解得m5，m3且m2(mR)
13、四、探究与拓展14复数z11icos，z2sini，则|z1z2|的最大值为()A32B.1C32D.1答案D解析|z1z2|(1sin)(cos1)i|.|cos()|max1，|z1z2|max1.15已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2i，向量对应的复数为12i，向量对应的复数为3i，求：(1)点C，D对应的复数；(2)平行四边形ABCD的面积解(1)因为向量对应的复数为12i，向量对应的复数为3i，所以向量对应的复数为(3i)(12i)23i.又，所以点C对应的复数为(2i)(23i)42i.因为，所以向量对应的复数为3i，即(3，1)设D(x，y)，则(x2，y1)(3，1)，所以解得所以点D对应的复数为5.(2)因为|cosB，所以cosB.所以sinB.所以S|sinB7，所以平行四边形ABCD的面积为7.