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《优教通同步备课》高中数学(北师大版)选修2-1教案:第2章 空间向量与立体几何 复习与小结参考教案2.doc

1、空间向量与立体几何复习与小结 教案一、教学目标:1、掌握空间向量的概念、运算及其应用;2、掌握利用空间向量解决立体几何问题的方法。二、重难点:掌握空间向量的概念、运算及其应用及掌握利用空间向量解决立体几何问题的方法。三、教学方法:探析归纳,讲练结合四、教学过程(一)题型探析1、用已知向量表示未知向量例1. 如图所示,在平行六面体中,设,M、N、P分别是、BC、的中点,试用a、b、c表示以下各向量:(1);(2);(3)。分析:根据空间向量加减法及数乘运算的法则和运算律即可。解析:(1)P是的中点, (2)N是BC的中点,(3)M是的中点,又。点评:用已知向量表示未知向量,一定要结合图形,以图形

2、为指导是解题的关键要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量,我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则,在立体几何中要灵活应用三角形法则;向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立2、共线、共面向量问题 例2. 已知A、B、C三点不共线,对平面外一点O,在下列条件下,点P是否一定与A、B、C共面?(1);(2)分析:先化简已知等式,观察它能否转化为四点共面的充要条件。解析:(1)原式变形为由共面向量定理的推论知P与A、B、C共面。(2)原式变形为P与A、B、C三点不共面。点评:点共面问题,可转化为向量共面问题,要证明P、A、B、

3、C四点共面,只要能证明,或对空间任一点O,有或即可,以上结论是判定空间四点共面的一个充要条件,共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的必要条件。3、空间向量基本定理 例3. 已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点,且PA平面ABCD,M、N分别为PC、PD上的点,且M分成定比2,N分PD成定比1,求满足的实数x、y、z的值。分析:结合图形,从向量出发,利用向量运算法则不断进行分解,直到全部向量都用、表示出来,即可求出x、y、z的值。解析:如图所示,取PC的中点E,连接NE,则。 ,连接AC,则点评:选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何问题的

4、一项基本功,要结合已知和所求,观察图形,联想相关的运算法则和公式等,就近表示所需向量。再对照目标,将不符合目标要求的向量当作新的所需向量,如此继续下去,直到所有向量都符合目标要求为止,这就是向量的分解。有分解才有组合,组合是分解的表现形式。空间向量基本定理恰好说明,用空间三个不共面的向量组可以表示出空间任意一个向量,而且a,b,c的系数是惟一的。4、空间向量数量积 例4. 在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,ACD=90,将它沿对角线AC折起,使AB和CD成60角(见下图)。求B、D间的距离。解析:ACD=90,同理 AB和CD成60角, 60或120 ,即B、D间的距离为2或点评:用向量数量积的定义及性质可解决立体几何中求异面直线所成的角,求两点距离或线段长度以及证明线线垂直,线面垂直等典型问题。(1)求向量和所成的角,首先应选择合适的基底,将目标向量和用该组基底表示出来,再求其自身的数量积及长度最后利用公式。(2)由于线段的长度是实数,实数与向量之间如何转化,是思维中的常见障碍,在向量性质中提供了向量与实数相互转化的工具,运用此公式,可使线段长度的计算问题转化成两个相等向量的数量积的计算问题。(二)、课堂练习:已知A、B、C三点不共线,O为平面ABC外一点。若由向量确定的点P与A、B、C共面,则_。(三)、作业布置:课本复习题(二)A组中5、7、8、10五、教后反思:

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