1、学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.满足122334n(n1)3n23n2的自然数n()A.1B.1或2C.1,2,3D.1,2,3,4【解析】经验证当n1,2,3时均正确，但当n4时，左边1223344540，而右边34234228，故选C.【答案】C2.某个与正整数n有关的命题，如果当nk(kN且k1)时命题成立，则一定可推得当nk1时，该命题也成立.现已知n5时，该命题不成立，那么应有()A.当n4时该命题成立B.当n6时该命题成立C.当n4时该命题不成立D.当n6时该命题不成立【解析】若n4时命题成立，由递推关系知n5时命题成立，与题中条件矛盾，n4时，该命题不成立
2、.【答案】C3.记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和f(k1)f(k)()A.B.C.2D.【解析】nk到nk1时，内角和增加.【答案】B4.用数学归纳法证明：123(2n1)(n1)(2n1)时，在验证n1成立时，左边所得的代数式为()A.1B.13C.123D.1234【解析】当n1时左边所得的代数式为123.【答案】C5.一个与自然数n有关的命题，当n2时命题成立，且由nk时命题成立推得nk2时命题也成立，则()A.该命题对于n2的自然数n都成立B.该命题对于所有的正偶数都成立C.该命题何时成立与k取什么值无关D.以上答案都不对【解析】由题意n2时成立可推得n4,6,8，都
3、成立，因此所有正偶数都成立，故选B.【答案】B二、填空题6.用数学归纳法证明：设f(n)1，则nf(1)f(2)f(n1)nf(n)(nN，且n2)第一步要证明的式子是_.【解析】n2时，等式左边2f(1)，右边2f(2).第一步要证明的式子是2f(1)2f(2).【答案】2f(1)2f(2)7.用数学归纳法证明“nN，n(n1)(2n1)能被6整除”时，某同学证法如下：(1)n1时1236能被6整除，n1时命题成立.(2)假设nk时成立，即k(k1)(2k1)能被6整除，那么nk1时，(k1)(k2)(2k3)(k1)(k2)k(k3)k(k1)(k2)(k1)(k2)(k3).k，k1，k
4、2和k1，k2，k3分别是三个连续自然数.其积能被6整除.故nk1时命题成立.综合(1)(2)，对一切nN，n(n1)(2n1)能被6整除.这种证明不是数学归纳法，主要原因是_.【答案】没用上归纳假设8.设f(n)1(nN)，则f(n1)f(n)等于_. 【导学号：38000057】【解析】因为f(n)1，所以f(n1)1，所以f(n1)f(n).【答案】三、解答题9.已知f(n)(2n7)3n9，是否存在自然数m，使得对任意nN，都能使m整除f(n)？如果存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.【解】存在，m36.证明如下：(1)当n1时，f(1)36，能被36整除；(2
5、)假设当nk(kN，且k1)时，f(k)能被36整除，即f(k)(2k7)3k9能被36整除，则当nk1时，f(k1)2(k1)73k193(2k7)3k918(3k11).由归纳假设3(2k7)3k9能被36整除，而3k11是偶数，所以18(3k11)能被36整除，所以f(k1)能被36整除.由(1)(2)，得f(n)能被36整除，由于f(1)36，故能整除f(n)的最大整数是36，即m36.10.设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1，n1,2,3，.(1)求a1，a2；(2)猜想数列Sn的通项公式，并给出严格证明.【解】(1)Sn1是方程x2anxan0的一个根
6、，(Sn1)2an(Sn1)an0，(Sn1)2anSn0，当n1时，a1，当n2时，a2.(2)由(1)知S1a1，n2时，(Sn1)2(SnSn1)Sn0，Sn.此时当n2时，S2；当n3时，S3.由猜想可得，Sn，n1,2,3，.下面用数学归纳法证明这个结论.当n1时，a1S1，显然成立.假设当nk(kN，且k1)时结论成立，即Sk.当nk1时，由知Sk1，Sk1.当nk1时式子也成立.综上，Sn，n1,2,3，对所有正整数n都成立.能力提升1.用数学归纳法证明“12222n12n1(nN)”的过程中，第二步nk时等式成立，则当nk1时应得到()A.12222k22k12k11B.122
7、22k2k12k12k1C.12222k12k12k11D.12222k12k2k11【解析】由条件知，左边是从20,21一直到2n1都是连续的，因此当nk1时，左边应为12222k12k，从右边应为2k11.【答案】D2.用数学归纳法证明：(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)时，从“k到k1”左边需增乘的代数式是()A.2k1 B.C.2(2k1)D.【解析】当nk1时，左边(k11)(k12)(k1k1)(k1)(k2)(k3)(kk)(k1)(k2)(k3)(kk)2(2k1).【答案】C3.设平面内有n条直线(n2)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用f(
8、n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)_；当n4时，f(n)_(用n表示). 【导学号：38000058】【解析】f(2)0，f(3)2，f(4)5，f(5)9，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数.所以f(3)f(2)2，f(4)f(3)3，f(5)f(4)4，f(n)f(n1)n1.累加，得f(n)f(2)234(n1)(n2).所以f(n)(n1)(n2).【答案】5(n1)(n2)4.已知ABC的三边长是有理数.(1)求证：cos A是有理数；(2)求证：对任意正整数n，cos nA和sin Asin nA都是有理数.【证明】(1)由AB，BC，AC为有理数及余弦定理知c
9、os A 是有理数.(2)用数学归纳法证明cos nA和sin Asin nA都是有理数.当n1时，由(1)知cos A是有理数，从而有sin Asin A1cos2A也是有理数.假设当nk(k1)时，cos kA和sin Asin kA都是有理数.当nk1时，由cos(k1)Acos Acos kAsin Asin kA，sin Asin(k1)Asin A(sin Acos kAcos Asin kA)(sin Asin A)cos kA(sin Asin kA)cos A，由和归纳假设，知cos(k1)A与sin Asin(k1)A都是有理数.即当nk1时，结论成立.综合可知，对任意正整数n，cos nA和sin Asin nA都是有理数.