1、1.1.1空间向量及其线性运算【自主学习】1、空间向量的概念及几类特殊向量名称定义空间向量在空间中，具有_和_的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的_单位向量长度或模为_的向量零向量_的向量相等向量方向_且模_的向量相反向量_相反且_相等的向量2、空间向量的表示空间向量可以用 a,b,c表示，也用有向线段表示，有向线段的表示向量的模，向量 a 的起点是 A，终点是 B，则向量 a 也可记作AB，其模记为.3、空间向量的加、减法运算、数乘运算（1）ab=OA AB_；（2）a-bOA OC _.（3）当0 时，a=OA=；当0 时，a=OA=；0 时，a0运算律：交换律 ab_；结合律(ab)c
2、.分配律(ab)，()a。4、共线向量(1)定义：表示空间向量的有向线段所在的直线_，则这些向量叫做_或平行向量.(2)共线向量定理：对于空间任意两个向量 a，b(b0)，ab 的充要条件是存在实数使_.5、方向向量在直线 l 上取非零向量 a，我们把与向量 a 平行的成为直线 l 的方向向量。也就是说直线可以由其一点和它的方向向量确定。6、共面向量定义：平行于_的向量叫做共面向量.I、证明空间三个向量共面，常用如下方法：(1)设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若 axbyc，则向量a，b，c 共面；(2)寻找平面，证明这些向量与平面平行.II、对空间四点 P，M，A，B
3、可通过证明下列结论成立来证明四点共面：(1)MP xMA yMB；(2)对空间任一点 O，OP OM xMA yMB；(3)对空间任一点 O，OP xOA yOB zOC(xyz1)；(4)PM AB(或PAMB，或PBAM).【小试牛刀】1、判断正错(1)零向量没有方向()(2)有向线段都可以表示向量，向量都可以用有向线段表示()(3)平面内所有的单位向量是相等的()(4)空间中，将单位向量起点放在一起，其终点组成的图形是球()(5)任何两个向量均不可以比较大小()2、在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，顶点连接的向量中，与向量AD 相等的向量共有()A.1 个B.2 个C.3 个
4、D.4 个3.已知空间四边形 ABCD 中，ABa，CBb，AD c，则CD 等于()A.abcB.abcC.abcD.abc【经典例题】题型一 空间向量概念注意：在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致例 1给出下列命题：零向量没有确定的方向；在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，ACA1C1；若向量 a 与向量 b 的模相等，则 a，b 的方向相同或相反；在四边形 ABCD 中，必有ABAD AC.其中正确命题的序号是_.跟踪训练 1(1)下列关于空间向量的说法中正确的是()A若向量 a，b 平行，则 a，b 所在直线平行B若|a|b|，则 a，b 的长度
5、相等而方向相同或相反C若向量AB，CD 满足|AB|CD|，则ABCDD相等向量其方向必相同(2)如图所示，在平行六面体 ABCD-ABCD中，顶点连接的向量中，与向量AA 相等的向量有_；与向量AB 相反的向量有_.(要求写出所有适合条件的向量)题型二空间向量的线性运算注意：1.熟练掌握空间向量线性运算法则和运算律；2.要注意数形结合思想的运用.例 2 在如图所示的平行六面体中，求证：ACAB-AD-2AC-.跟踪训练 2 如图，已知正方体 ABCD-ABCD，点 E 是上底面 ABCD的中心，求下列各式中 x，y，z 的值.(1)BD xAD yABzAA；(2)AExAD yABzAA.
6、题型三 向量的共线及判定例 3 如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 在 A1D1 上，且A1E 2ED1，F 在对角线 A1C上，且A1F 23FC，求证：E，F，B 三点共线.注意：要证 E，F，B 三点共线，只需证明下面结论中的一个成立即可：(1)EBmEF；(2)ABAEEF；(3)ABnAE(1n)AF.跟踪训练 3 在空间四边形 ABCD 中，E、F 分别为 AB、CD 的中点，请判断EF与ADBC是否共线题型四向量共面例 4 如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，点 P 是 ABCD 所在平面外的一点，连接PA，PB，PC，PD.设点 E，F，G，H 分别为PA
7、B，PBC，PCD，PDA 的重心.试用向量方法证明 E，F，G，H 四点共面.跟踪训练 4 如图所示，已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在的平面互相垂直，点 M，N分别在对角线 BD，AE 上，且 BM13BD，AN13AE.求证：向量MN，CD，DE 共面.基 础 练1判断下列各命题的真假：向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；两个有公共终点的向量，一定是共线向量；有向线段就是向量，向量就是有向线段其中假命题的个数为()A2B3C4D52已知空间向量AB、BC、CD、AD，则下列结论正确的是()A.ABBCCDB.ABD
8、CBCADC.ADABBCDCD.BCBDDC3在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，向量表达式DD1 ABBC化简后的结果是()A.BD1B.D1BC.B1DD.DB14已知正方形 ABCD 的边长为 1，设ABa，BCb，ACc，则|abc|等于()A0B3C2 2D2 25在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，向量D1A，D1C，A1C1 是()A有相同起点的向量B等长向量C共面向量D不共面向量6已知向量 a，b，且ABa2b，BC5a6b，CD 7a2b，则一定共线的三点是()AA，B，DBA，B，CCB，C，DDA，C，D7已知 P 为空间中任意一点，A，B，C，D 四点满足
9、任意三点均不共线，但四点共面，且PA43PBxPC 16DB，则实数 x 的值为()A.13B13C.12D128如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M、N 分别为 AB、B1C 的中点如何用AB、AD、AA1 表示向量MN？能 力 练9.已知非零向量 e1，e2 不共线，如果ABe1e2，AC2e18e2，AD 3e13e2，则 A，B，C，D四点()A一定共线B恰是空间四边形的四个顶点C一定共面D一定不共面10.在平行六面体 ABCDEFGH 中，若AG xAB2yBC3zDH，则 xyz 等于()A.76B.23C.34D.5611在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，若CAa，
10、CBb，CC1 c，则A1B _12设 e1，e2 是空间两个不共线的向量，已知ABe1ke2，BC5e14e2，DC e12e2，且 A，B，D 三点共线，实数 k_.13在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，化简DA DB B1C B1B A1B1 A1B.14.如图，设 O 为 ABCD 所在平面外任意一点，E 为 OC 的中点，若AE12OD xOB yOA，求x，y 的值15如图所示，已知空间四边形 ABCD，连接 AC，BD，E，F，G 分别是 BC，CD，DB 的中点，请化简(1)ABBCCD；(2)ABGD EC，并标出化简结果的向量16已知点 G 是ABC 的重心，O 是空
11、间任意一点，若OAOBOCOG，求的值1.1.1【空间向量及其线性运算参考答案】【自主学习】1、大小方向长度或模1长度为 0相同相等方向模2、长度|a|或|AB|3、OBCAbaa（bc）abaa4、(1)互相平行或重合共线向量(2)ab5、非零向量6.同一个平面【小试牛刀】1、2、C【解析】与向量AD 相等的向量有BC，A1D1，B1C1 共 3 个.3、C【解析】CD CBBAAD CBABAD abc.【经典例题】例 1【解析】(1)正确；正确，因为AC与A1C1 的大小和方向均相同；|a|b|，不能确定其方向，所以 a 与 b 的方向不能确定；中只有当四边形 ABCD 是平行四边形时，
12、才有ABAD AC.综上可知，正确命题为.跟踪训练 1(1)D 解析A 中，向量 a，b 平行，则 a，b 所在的直线平行或重合；B 中，|a|b|只能说明 a，b 的长度相等而方向不确定；C 中，向量作为矢量不能比较大小，故选 D.(2)BB，CC，DDBA，BA，CD，CD解析 根据相等向量的定义知，与向量AA 相等的向量有BB，CC，DD.与向量AB 相反的向量有BA，BA，CD，CD.例 2 证明平行六面体的六个面均为平行四边形，ACABAD，AB-ABAA-，AD-AD AA-，ACAB-AD-(ABAD)(ABAA-)(AD AA-)2(ABAD AA-)又AA-CC-，AD BC
13、，ABAD AA-ABBCCC-ACCC-AC-.ACAB-AD-2AC-.跟踪训练 2 解：(1)因为BD BD DD BAAD DD ABAD AA，又BD xAD yABzAA，所以 x1，y1，z1.(2)因为AEAA AE AA 12AC AA 12(AB AD)AA 12AB 12AD 12AD 12ABAA，又AExAD yABzAA，所以 x12，y12，z1.例 3【证明】设ABa，AD b，AA1 c.A1E 2ED1，A1F 23FC，A1E 23A1D1，A1F 25A1C.A1E 23AD 23b，A1F 25(ACAA1)25(ABAD AA1)25a25b25c.
14、EFA1F A1E 25a 415b25c25(a23bc)又EBEA1 A1A AB23bcaa23bc，EF25EB，所以 E，F，B 三点共线跟踪训练 3 解：连接 AC，取 AC 的中点 G，连接 EG、FG，E、F 分别为 AB、CD 的中点GF 12AD，EG 12BC.又E、F、G 三点共面，EFEG GF 12(AD BC)，即EF与AD BC共线例 4 证明：分别连接 PE，PF，PG，PH 并延长，交对边于点 M，N，Q，R，连接 MN，NQ，QR，RM，因为点 E，F，G，H 分别是所在三角形的重心，所以 M，N，Q，R 是所在边的中点，且PE23PM，PF23PN，PG
15、 23PQ，PH 23PR.由题意知四边形 MNQR 是平行四边形，所以MQ MN MR(PNPM)(PRPM)32(PFPE)32(PH PE)32(EFEH).又MQ PQ PM 32PG 32PE32EG.所以EG EFEH，由共面向量定理知，E，F，G，H 四点共面.跟踪训练 4 因为 M 在 BD 上，且 BM13BD，所以MB 13DB 13DA 13AB.同理AN13AD 13DE.所以MN MB BAAN13DA 13ABBA13AD 13DE23BA13DE 23CD 13DE.又CD 与DE 不共线，根据向量共面的充要条件可知MN，CD，DE 共面.基 础 练1.B 解析假
16、命题，若 a 与 b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的；真命题；假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段2B【解析】ABDCBCABBCCDACCDAD.3.A 解析如图所示，因为DD1 AA1，DD1 ABAA1 ABBA1，BA1 BCBD1，DD1 ABBCBD1.4D【解析】利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解，|abc|2|AC|2 2.5.C 解析因为D1C D1A AC，且ACA1C1，所以D1C D1A A1C1，即D1C D1A A1C1.又D1A 与A1C1 不共线，所以D1C，D1A，A1C1 三
17、向量共面6.A 解析因为AD ABBCCD 3a6b3(a2b)3AB，故AD AB，又AD 与AB有公共点 A，所以 A，B，D 三点共线7.A 解析PA43PBxPC16DB 43PBxPC16(PBPD)32PBxPC16PD.又P 是空间任意一点，A，B，C，D 四点满足任意三点均不共线，但四点共面，32x161，解得 x13.8.解 MN MB BCCN 12ABAD 12(CBBB1)12ABAD 12(AD AA1)12AB12AD 12AA1.能 力 练9.C 解析因为非零向量 e1，e2 不共线，ABe1e2，AC2e18e2，AD 3e13e2，所以 5ABAD5e15e2
18、3e13e22e18e2AC，所以AC5ABAD.由向量共面的充要条件可知，A，B，C，D 四点共面10.D 解析由于AG ABAD CG ABBCDH，对照已知式子可得 x1，2y1,3z1，故x1，y12，z13，从而 xyz56.11.abc 解析A1B A1A ABC1C(CBCA)CC1 CBCAcba.12.1 解析AD ABBCCD 7e1(k6)e2，且AB与AD 共线，故AD xAB，即 7e1(k6)e2xe1xke2，故(7x)e1(k6xk)e20，又e1，e2 不共线，7x0，k6kx0，解得x7，k1，故 k 的值为 1.13.解DA DB B1C B1B A1B1
19、 A1B(DA DB)(B1C B1B)(A1B1 A1B)BABC BB1BD BB1 BD1.14.解因为AEABBCCEOB OA OC OB 12OC OA 12OC OA 12(OD DC)OA 12(OD AB)OA 12OD 12(OB OA)32OA 12OD 12OB，所以 x12，y32.15.解(1)ABBCCD ACCD AD.(2)E，F，G 分别为 BC，CD，DB 的中点BEEC，EFGD.ABGD ECABBEEFAF.故所求向量AD，AF如图所示16解：连接 CG 并延长交 AB 于 D，则 D 为 AB 中点，且 CG2GD，所以OAOBOCOGGAOGGBOGGC3OGGAGBGC3OG2GDGC3OGGCGC3OG.所以3.