1、函数零点的存在性判断与求解 32212212log221yxxxf xxx求函数 的零点；判【例断函数 的】零点的个数 32223222(2)(2)(2)(1)(12)(1)(1)(2)(1)(1)0211.221,1,2.yxxxxxxxxxxxxxxxxxyxxx由 令 ，解得 或 或 所以函数 的零点为【解析】221221222(0)11log20log2.221log2.2log(0)12(0)21g122lo2f xf xxxxxyxyxyxyxf xxx函数的定义域为，令 ，得设，易知函数 在，上是单调增函数，在，上是单调减函数由于它们的图象只有一个交点，所以函数的零点只有 个函数
2、零点的存在性问题常用的办法有三种：一是零点存在的性质定理，即考察变号零点所在区间端点值的符号；二是直接解方程，求出方程的根或讨论方程根的存在性；三是构造函数，利用函数图象的交点判断函数零点的存在性本题(1)是转化为方程求零点；本题(2)是构造函数，利用函数图象的性质研究函数零点的存在性【变式练习1】(1)求函数yx33x的零点；(2)已知函数f(x)x22xlg(2m1)有两个异号零点，求实数m的取值范围 33312123303.3(0)(0)33.1.0lg 21011.21021(,)2112xxxxyxxyxyyyyxxf xxfmmmm R令 ，得 设 ，易知两函数在，上都是增函数，且
3、，它们的图象只有一个交点，所以函数 的零点只有一个，是 函数的图象是抛物线，对称轴方程是 要使函数存在两个异号零点，只需，解得所以实数 的取值范围是【解析】用二分法求方程的近似解【例2】求方程x3x10在区间0,2上的实数根(精确度为0.1)303000010.1.01028215010,21.1101,21.51.50.87501,1.5f xxxxfff xxxxfxxfx考察函数 ，设精确度为的零点为因为，所以函数 在上有零点，取中点 因为，所以；取，因为，所以【解析】；0000000191.251.250641.25 1.51.3751.37501.25 1.3751.31251.31
4、2501.3125 1.3751.3751.31250.06250.11.375.xfxxfxxfxx取，因为，所以，；取，因为，所以，；取，因为，所以，因为，所以取 在用二分法求解方程时，初始区间的选定往往需要通过分析函数的性质(了解函数的大致图象)或者试验估值，并逐步将零点值的区间范围缩小初始区间的端点不一定选在两个相邻整数之间，初始区间选取不同，不影响最终的计算结果【变式练习2】求方程x32x50在区间2,3内的实根，取区间中点x02.5，那么下一个有解区间是 _【解析】设f(x)x32x5，则f(2)10，f(3)160，故下一个有根区间是2,2.52,2.5 函数零点的综合应用 22
5、2212log(22)2.112log(22)2223PyaxxSPSaaxxa 已知集合，函数 的定义域为若，求【实数 的取值范围；若方程 在，上有解，求实数 的取例】值范围 22233min22 1220(2)22222 2242.1,2021,221,224.(4)1PSPxaxxaxxxxxxf xfxxxxxfxf xxaf xaf xa 因为，故存在 中的元素使，则有令，则当时，所以在上是单调增函数依题意，只需存在，使故 所以【解实数 的取值范围为 ，析】2222233maxmin1log(22)2,22122 0,2222 1(2)22222(22)42.11,20.,22213
6、()122.223,1 222axxaxxxaxxxxxxf xfxxxxxfxf xf xff xfa由方程 在上有解，即方程 在上有解，则 令则当时，所以在上是减函数，则，所以实数 的取值范围为 2000min211,22202401,22200201()04422(2)0 xaxxaf xaxxaaafaaf 本题是研究方程根的存在性，问题的意义是在区间上，存在 使即可，认清了这一点，对于 就容易理解了；本问可以不用导数方法，用间接法也能求解，即在区间上，恒成立，则，得；或，得，于是；问是常规问题，可以用二次函数的零点的分布来做【变式练习3】已知关于x的方程9|x2|43|x2|a0有实
7、数根，求实数a的取值范围|2|22|2|23(01)400,1420,1(0)00,30.(1)120303,0)3(01)40 xxttttaf tttatf tfaafaattttaat 令，则问题转化为方程 在上有解设 ，图象的对称轴方程为 ，知函数在只有一个零点于是即，解得所以实数 的取值范方围为用函数思想方法求解令 则由 【解，法：方】法得：析224(2)4.0,13,0)ttta 因为，故根据单调性易得 1.已知函数 f(x)x2axb 的两个零点是 2 和 3，则函数 g(x)bx2ax1 的零点是 12和13.【解析】由题意可得，f(x)(x2)(x3)x25x6，所以 a5，
8、b6，由 g(x)6x25x10，得 x12或 x13.2.已知关于x的方程ax2a10在(1,1)上有一个实数根，则实数a的取值范围是_1(1)3，3.函数 f(x)ln(x1)2x的零点所在的区间是(n，n1)，则正整数 n 1.【解析】设 x0 是函数 f(x)ln(x1)2x的零点，而 f(1)0，所以 x0 所在的区间是(1,2)，所以 n1.4.函 数 f(x)lgx sinx 的 零 点 个 数 为_【解析】在同一坐标系中作出函数ysinx，ylgx的图象如图，即可知道交点个数是3，即原函数的零点个数是3.35.设f(x)3ax22bxc，若abc0，f(0)0，f(1)0，求证
9、：方程f(x)0在(0,1)内有两个实根 00100,320.00.131()0244110(0)(1)2200,1ffcabcabcbacfabcaf xf x 因为，所以由条件 ，消去，得因为，所以方程 在区间，与，【内分别证有一实根明故方程 在内】有两个实根1函数的零点函数的零点不是点，而是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以零点是一个实数，一个使函数值为0的实数函数的零点分变号零点和不变号零点两种变号零点可以用二分法求解，不变号零点一般通过函数图象判断，如函数y|x1|有一个零点x1，它是不变号零点所以f(a)f(b)0是函数f(x)在区间a，b上存在零点的必要非充分条件2方程根的分布求方程的根或根的近似值，就是求函数的零点值或其近似值将方程根的问题转化为函数的零点问题，不仅直观展现了方程根的几何意义，重要的是能够简化运算程序，提高解决问题的效率3函数与方程的综合应用数形结合是这种转化的重要基础，把数量关系和空间形式结合起来是函数综合应用借以考查数学综合能力的重要题型