1、第二章 2.1 2.2.2 反证法 2 突破常考题型 题型一 题型二 题型三 3 跨越高分障碍 4 应用落实体验 随堂即时演练 课时达标检测 知识点 1 理解教材新知 反证法提出问题著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候爱和小朋友在路上玩耍一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的”问题1：王戎的论述运用了什么推理思想？提示：运用了反证法的思想问题2：反证法解题的实质是什么？提示：否定结论，导出矛盾，
2、从而证明原结论正确导入新知1反证法假设不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明，从而证明了，这种证明方法叫做反证法2反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与矛盾，或与假设矛盾，或与、矛盾等原命题假设错误原命题成立已知条件定义公理定理事实化解疑难1反证法实质用反证法证明命题“若 p 则 q”的过程可以用以下框图表示：肯定条件p，否定结论q 导致逻辑矛盾“p且綈q”为假“若p则q”为真2反证法与逆否命题证明的区别反证法的理论依据是 p 与綈 p 真假性相反，通过证明綈 p为假命题说明 p 为真命题，证明过程中要出现矛盾；逆否
3、命题证明的理论依据是“pq”与“綈 q綈 p”是等价命题，通过明命题“綈 q綈 p”为真命题来说明命题“pq”为真命题，证明过程不出现矛盾用反证法证明否定性命题例 1 设函数 f(x)ax2bxc(a0)中，a，b，c 均为整数，且 f(0)，f(1)均为奇数求证：f(x)0 无整数根证明 假设 f(x)0 有整数根 n，则 an2bnc0(nZ)，而 f(0)，f(1)均为奇数，即 c 为奇数，ab 为偶数，则 an2bnc 为奇数，即 n(anb)为奇数n，anb 均为奇数，又ab 为偶数，ana 为奇数，即 a(n1)为奇数，n1 为奇数，这与 n 为奇数矛盾f(x)0 无整数根类题通法
4、1用反证法证明否定性命题的适用类型一般地，当题目中含有“不可能”“都不”“没有”等否定性词语时，宜采用反证法证明2反证法的一般步骤用反证法证明命题时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程这个过程包括下面三个步骤：(1)反设假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；(2)归谬由“反设”作为条件，经过一系列正确的推理，得出矛盾；(3)存真由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立即反证法的证明过程可以概括为：反设归谬存真活学活用设 a，b，c，dR，且 adbc1，求证：a2b2c2d2abcd1.证明：假设 a2b2c2d2abcd1.因为
5、adbc1，所以 a2b2c2d2abcdbcad0，即(ab)2(cd)2(ad)2(bc)20，所以 ab0，cd0，ad0，bc0，则 abcd0，这与已知条件 adbc1 矛盾故假设不成立，所以 a2b2c2d2abcd1.用反证法证明唯一性命题例 2 已知：一点 A 和平面.求证：经过点 A 只能有一条直线和平面 垂直证明 根据点 A 和平面 的位置关系，分两种情况证明(1)如图，点 A 在平面 内，假设经过点A 至少有平面 的两条垂线 AB，AC，那么 AB，AC 是两条相交直线，它们确定一个平面，平面 和平面 相交于经过点 A的一条直线 a.因为 AB平面，AC平面，a，所以 A
6、Ba，ACa，在平面 内经过点 A 有两条直线都和直线 a 垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾(2)如图，点 A 在平面 外，假设经过点 A 至少有平面 的两条垂线 AB，AC(B，C 为垂足)，那么 AB，AC 是两条相交直线，它们确定一个平面，平面 和平面 相交于直线 BC，因为AB平面，AC平面，BC，所以 ABBC，ACBC.在平面 内经过点 A 有两条直线都和 BC 垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾综上，经过一点 A 只能有平面 的一条垂线类题通法用反证法证明唯一性命题的适用类型(1)当证明结论是“有且只有”“只有一个”“
7、唯一”等形式的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证明唯一性比较简单(2)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个方面，即存在性问题和唯一性问题两个方面活学活用用反证法证明：过已知直线 a 外一点 A 有且只有一条直线 b与已知直线 a 平行证明：由两条直线平行的定义可知，过点 A 至少有一条直线与直线 a 平行假设过点 A 还有一条直线 b与已知直线 a 平行，即 bbA，ba.因为 ba，由平行公理知 bb.这与假设 bbA 矛盾，所以假设错误，原命题成立.用反证法证明“至少”“至多”等存在性命题例 3 已知 a1a2a3a4100，求证：a1，a2，a3，a4 中至少有一个数大
8、于 25.证明 假设 a1，a2，a3，a4 均不大于 25，即 a125，a225，a325，a425，则 a1a2a3a425252525100，这与已知 a1a2a3a4100 矛盾，故假设错误所以 a1，a2，a3，a4 中至少有一个数大于 25.类题通法常见“结论词”与“反设词”原结论词至少有一个至多有一个至少有n个 至多有n个反设词一个也没有(不存在)至少有两个至多有(n1)个至少有(n1)个原结论词 只有一个对所有x成立对任意x不成立反设词没有或至少有两个存在某个x不成立存在某个x成立原结论词都是一定是p 或 qp 且 q反设词不都是 不一定是綈 p 且綈 q綈 p 或綈 q活学
9、活用已知函数 yf(x)在区间(a，b)上是增函数求证：函数 yf(x)在区间(a，b)上至多有一个零点证明：假设函数 yf(x)在区间(a，b)上至少有两个零点，设x1，x2(x1x2)为函数 yf(x)在区间(a，b)上的两个零点，且x1x2，则 f(x1)f(x2)0.因为函数 yf(x)在区间(a，b)上为增函数，x1，x2(a，b)且 x1x2，f(x1)f(x2)，与 f(x1)f(x2)0 矛盾，假设不成立，故原命题正确 3.反证法的应用典例(12分)如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线解题流
10、程 证明直线ME与BN是异面直线，可假设ME与BN共面，并推出矛盾1四边形ABCD与DCEF都是正方形，所以ABCDEF2AB平面DCEF，AB平面DCEF假设ME与BN共面由AB平面DCEF得BMEN由BMEF，得ENEF得出矛盾，问题得证规范解答假设ME与BN共面，则AB平面MBEN，名师批注利用反证法证明问题，必须从假设出发，即本题必须以 ME与 BN 共面为条件证明此处极易忽视，造成解题错误且平面 MBEN 与平面 DCEF交于 EN.由已知两正方形不共面，故 AB平面 DCEF.(4 分)又 ABCD，所以 AB平面DCEF，而 EN 为平面 MBEN 与平面DCEF 的交线，极易忽
11、视此条件，直接由AB平面DCEF得出ABEN而失分.所以 ABEN.(8 分)又 ABCDEF，所 以 EN EF，这 与ENEFE 矛盾，故假设不成立，所以 ME与 BN 不共面，它们是异面直线(12 分)必须由矛盾否定假设，而肯定原命题正确.活学活用设直线 l1：yk1x1，l2：yk2x1，其中实数 k1，k2 满足 k1k220，证明 l1 与 l2 相交证明：假设直线 l1 与 l2 不相交，则 l1 与 l2 平行，由直线 l1 与 l2 的方程可知实数 k1，k2 分别为两直线的斜率，则有 k1k2，代入 k1k220，消去 k1，得 k2220，k2 无实数解，这与已知 k2
12、为实数矛盾，所以 k1k2，即 l1 与 l2 相交随堂即时演练1应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用()结论的反设；已知条件；定义、公理、定理等；原结论A BCD解析：除原结论不能作为推理条件外其余均可答案：C 2用反证法证明命题“a，bN，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”，则假设的内容是()Aa，b都能被5整除 Ba，b都不能被5整除Ca不能被5整除 Da，b有1个不能被5整除答案：B 解析：用反证法只否定结论即可，而“至少有一个”的反面是“一个也没有”，故 B 正确3下列命题适合用反证法证明的是_已知函数 f(x)axx2x1(a1)，证明：方程
13、 f(x)0 没有负实数根；若 x，yR，x0，y0，且 xy2，求证：1xy 和1yx 中至少有一个小于 2；关于 x 的方程 axb(a0)的解是唯一的；同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交解析：是“否定”型命题；是“至少”型命题；是“唯一”型命题，且题中条件较少；中条件较少不足以直接证明，因此四个命题都适合用反证法证明答案：4已知平面平面直线a，直线b，直线c，baA，ca，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设_解析：空间中两直线的位置关系有 3 种：异面、平行、相交，应假设 b 与 c 平行或相交答案：b与c平行或相交5若下列三个方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0 中至少有一个方程有实根，试求实数 a 的取值范围解：若三个方程均无实根，则14a244a30，2a124a20，32a242a0 32a12，a1或a13，2a032a1.设Aa32a1，则RAaa32或a1，故所求实数a的取值范围是aa32或a1.课时达标检测