1、幂函数的概念 221(2)12314mmf xmm xmf x 已知，实数为何值时，是：正比例函数；反比例函数；二次函数【】；例幂函数 2222201112011112f xmmmmmf xmmmmm 若是正比例函数，则，解得；【解析】若是反比例函数，则，解得；222201132122412.31f xmmmmmf xmmm 若是二次函数，则，解得；若是幂函数，则，解得 本题考查函数的概念，需要根据相应函数的定义列出等式或不等式，要特别注意幂函数的定义及其应用 12()22f xk xk已知幂函数的【变式练习图象过点，则 _】_1(2010南通一模卷)32幂函数图象的应用 (2 2)1(2)4
2、122yf xyg xf xg xf xg x已知点，在幂函数 的图象上，点 ，在幂函数 的图象上求、的表达式；试【例比、】较的大小 2222.(2 2)2(2)2.1.(2)41(2)2.41111.111001112f xxf xxg xxg xxf xg xxxxxxf xg xxxf xg xxxf xg x设由于点，在其图象上，则，得 ，所以设由于点 ，在其图象上，则 ，得 ，所以若，则，得 或于是根据图象关系得：若 或，则；若或，则；若 或 ，则【】解析这是求函数表达式的一种常见题型掌握幂函数的概念是基础，掌握幂函数在第一象限的图象，根据 图 象 理 解 最 基 本 的 性 质 是
3、 关键对于比较两个函数值的大小，先研究相等的情况，就容易做好解答了 221(21)2mmf xmmxm 已知函数是幂函数且其图象过坐标原点，则实【变数 式练习】_2 22210102.mmmmm 由题设知，解【得】解析幂函数性质的应用 32420131(2 21)(1)123()(10)33aaf xmxxmxmxmaa若函数 的定义域为全体实数，求实数 的取值范围；比较，【例】的大小 22213132 21010084(1)0401,12.221,2110031()1,0,313().312aaaamxxmxmxmxRm mmmmmmaaa 依题意得对恒成立，故，解得所以故实数 的取值范围是
4、当时，所以它们的大小关系是：【解析】幂函数的定义域是根据幂函数的表达式的特点来确定的本题看成两个幂函数的和，前一个，0.70.8.函 数 y x0.7(x0)是 增 函 数，所 以0.80.70.70.7.故0.80.70.70.8.(3)因 为 a 0.71.31，所 以0a10)当m0时是增函数，故实数m的取值范围是(0，)幂函数的综合应用223*33()(0)(1)(32)mmmmyxmyaaaN已知幂函数 的图象关于 轴对称，且在，上是【减函数，求满足 的的例4】取值范围2*213(0)230131,2231(0)(0)mmmmmymmmyxN因为函数在，上是减函数，所以，解得，又，所
5、以，又因为函数图象关于 轴对称，所以 是偶数，所以 ，因为 在【解，和，均析】为减函数，1313330000(1)(32)1320321010322313223|132mmxxxxaaaaaaaaaaaa aa且当时，当时，所以 等价于或 或，解得 或，所以 的取值范围是 或幂函数的图象与性质是本题考查重点，充分利用幂函数的图象与性质解不等式，要注意考虑问题全面【变式练习 4】已知幂函数 f(x)xm22m3(mZ)为偶函数且在区间(0，)上是单调减函数(1)求函数 f(x)的解析式；(2)讨论(x)a fx bxfx的奇偶性【解析】(1)因为 f(x)在(0，)上是减函数，所以 m22m30
6、，所以1m3，又因为 mZ，所以 m0,1,2.而 m0,2 时，f(x)x3 不为偶函数；m1 时，适合所以 m1，f(x)x4.(2)因为(x)ax2bx3，所以(x)ax2bx3.故当 a0，b0 时，(x)既是奇函数又是偶函数；当 a0，b0 时，(x)为奇函数；当 a0，b0 时，(x)为偶函数；当 a0，b0 时，(x)既不是奇函数也不是偶函数1.设 1,1，12，3，则使函数 yx 的定义域为R 且为奇函数的所有 的值为 1 和 3.【解析】函数 yx 的定义域为 R，则符合题意的 为 1 和 3.当 1 时，yx 为奇函数；当 3 时，yx为奇函数，所以 1 或 3.1 12.
7、211,22 2(1)yxxyx设，幂函数 ，当，时，它的图象恒在直线 的下方，则 _1122,，2233.()0mmyxmyxmZ幂函数 的图象关于 轴对称，且当时，函数是减函数，则的值为_【解析】由m22m30，得1m0时，幂函数的图象还过定点(0,0)，当0时，图象不过原点幂函数在(0，)上的单调性，从三个方面考查：(1)当0 x)，在区间(1，)上总在直线yx的下方(x1时，函数图象在区间(0,1)上总在直线yx的下方(xx)，所以函数图象在(0，)上成下凸姿势，函数是增函数，增长的速度越来越快；(3)当x)，在区间(1，)上总在直线yx的下方(xx)幂函数的奇偶性，一般先将函数式化为正指数幂或根式，再根据函数的定义域和函数奇偶性的定义进行判断要注意，幂函数的图象不经过第四象限