1、不等式与函数【例1】要使满足关于x的不等式2x29xa0(解集非空)的每一个x的值至少满足不等式x24x30和x26x80中的一个，求实数a的取值范围222430|13680|24|14290()xxAxxxxBxxABxxxxaC C 因为不等式 的解集为，不等式 的解集为 所以设不等式的集为析解【解】2.2991,44818081(1)70,7.8(4)40CABf xxxaf xxCABafaafa 由题意知令，则的图象是开口向上的抛物线，且对称轴 欲使，需解得正确理解题意是解本题的关键“满足不等式2x29xa0(解集非空，且设为C)的每一个x的值至少满足不等式x24x30(设解集为A)
2、和x26x80(设解集为B)中的一个”，意思是非空数集C是AB的子集！本题就变为：不等式2x29xaf(x)或a0”，命题q：“xR，使x22ax2a0”若命题“pq”是真命题，则实数a的取值范围是_.a|a2【解析】当x1,2时，x21,4x1,2，x2a0，即a0；(2)当f(x)0的解集为(1,3)时，求实数a，b的值 2216310630.244601106363610(36 36)faabfaabbbfbbabfbb ，由，得 ，当 时，的解集为，当 时，的解集为，【解析】23(6)0(1,3)623339332xaa xbaaabb 因为不等式的解集为，所以，解之得 5.某建筑的金
3、属支架如图所示，根据要求AB至少长2.8 m，C为AB的中点，B到D的距离比CD的长度小0.5 m，BCD60.已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计AB，CD的长度，可使建造这个支架的成本最低？22222m(1.4)m.1()2cos60214.11422.1BCaaCDbBDCDBbbaababaabaaa设，连结，则在中，所以 所以 析【解】211.410.411422(1)334740.50.41.54.3 m4 mtattbatttttabABCD 设 ，则，所以 ，上式等号成立时，则，答：当，时，建造这个支架的成本最低不等式的应用是利用不等式的基本性质和基本方法解决一些综合性
4、问题和生活实际问题，大致有两种考查方式：一是利用基本不等式求函数的最大值和最小值，这首先要考虑适不适合“正、定、等”三个要素；二是将实际问题建立数学模型，转化为不等式，再用解不等式或利用基本不等式求变量的取值范围，进而求得问题所需要的结果22 1(122)xyxxyxyxyyxyxyyx利用基本不等式解决应用问题时，首先要判明是否可以用我们熟悉的模型 如：，等，还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件，同时要在练习过程中学会创设条件，灵活运用合理拆分项或凑配因式等常用的解题技巧这里要提醒的是，利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件是一个非常好的习惯(尽管有时题目并没有要求这样做)，因为它
5、是检验转换是否有误的有力保障，特别是变量给出范围时，更要注意2应用不等式解决实际问题的一般步骤：(1)阅读、理解材料：审清题意(尤其是带小括号说明的地方)，领悟问题的实际背景，从中找出数学量，确定量与量之间的相等和不等关系，初步判明用怎样的数学模型才能够解决这一问题；(2)建立数学模型：通过(1)的分析，将题目中的“文字语言”用“符号语言”表达，并将问题抽象成数学模型，判明是解不等式问题，还是基本不等式问题，或者是其他问题列出数学式子(函数、等式、不等式等)；(3)用数学知识解得问题所需要的数值或范围，最后别忘了下结论 3(00)0(0)1bf xaxxabbxf xaba在利用基本不等式解决
6、应用问题时，经常会碰到这样一个函数，用导数的方法可以求得它的单调性：当时，在，上是单调减函数，在，上是单调增函数；0(120)bxf xababbaxax当时，在，上是单调减函数，在 ，上是单调增函数记住它们可以给解题带来方便，尤其是而是由 解得的，因而不 难记住1(2010南京期末卷)若不等式x22|x32x|ax对x(0,4)恒成立，则实数a的取值范围是_222min2|2|042|2|22(|2|)2 2.(2 2axxxxxxxxxxxa原不等式等价于 恒成立又 及均在 时取得最小值，故 故实数 的【取值范围是 ，解析】选题感悟：不等式作为解决问题的重要工具，与其他知识综合运用的特点比
7、较突出，不等式恒成立问题是高考对不等式考查的热点，常用的解法是分离参数，转化为函数的最值问题(2 2，答案：2()1.2110,320,20 2f xaxbxcaabcff xf xaf xR设函数、，且若 的解集为，求的表达式；若 ，求证：函数在区间内至少有一个零点(2010 常州期中卷)2210,300,31 093101013220.2221.13221.3f xaaxbxcabccafabcabcf xxx 因为的解集为，所以，且分别为方程 的两个根，所以 又，即 由可解得 ，所以【】解析 010.20000,1024201,20221,aafcfcf xcfabcacf xf x证明：若，则当时，所以函数在内至少有一个零点；当时，所以函数在内至少有一个零点综上所述，在区间内至少有方法：一个零点；010.202422002020,2aafffabcafff x若，则而，所以或至少有一个大于，所以在区间内至少有方法：一个零点选题感悟：本题是一道有关函数、方程、不等式的综合题，知识面宽，对推理能力要求较高同时又把函数和方程思想、化归思想、分类讨论等数学思想渗透在一起，这类题是未来高考命题的亮点