1、章末综合测评(三)变化率与导数(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若y，则y()A.BC.D【解析】yx，则yx.【答案】B2某质点沿直线运动的位移方程为f(x)2x21，那么该质点从x1到x2的平均速度为()A4B5C6D7【解析】6.【答案】C3如果物体做S(t)2(1t)2的直线运动，则其在t4 s时的瞬时速度为()A12B12C4D4【解析】S(t)2(1t)22t24t2，则S(t)4t4，所以S(4)44412.【答案】A4曲线yex在点A(0,1)处的切线斜率为()A1B2CeD【
2、解析】由题意知yex，故所求切线斜率kex|x0e01.【答案】A5设曲线y在点处的切线与直线xay10平行，则实数a等于()A1BC2D2【解析】y，又f1，1，a1，故选A.【答案】A6(2016淮北高二检测)若曲线yf(x)x2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则()Aa1，b1Ba1，b1Ca1，b1Da1，b1【解析】y2xa，f(0)a1，yx2xb，又点(0，b)在切线上，故b10，b1.【答案】A7若函数f(x)x2bxc的图像的顶点在第四象限，则函数f(x)的图像是()【解析】f(x)2xb，因为f(x)顶点在第四象限所以b0，则f(x)图像与y轴交于负半轴【答案】
3、A8点P在曲线yx3x上移动，设点P处切线的倾斜角为，则的取值范围是()A.BC.D【解析】y3x211，则tan 1.0，)，.【答案】B9抛物线yx2bxc在点(1,2)处的切线与其平行直线bxyc0间的距离是()A.BC.D【解析】抛物线过点(1,2)，bc1.又f(1)2b，由题意得2bb，b1，c2.所求的切线方程为y2x1，即xy10，两平行直线xy10和xy20间的距离d.【答案】C10设函数f(x)x3x2tan ，其中，则导数f(1)的取值范围是()A2,2B，C，2D，2【解析】f(x)x2sin xcos ，f(1)sin cos 2sin 因为，所以，所以sin ，故f
4、(1)，2【答案】D11过点(1,0)作抛物线yx2x1的切线，则其中一条切线为()A2xy20B3xy30Cxy10Dxy10【解析】y2x1，设所求切线的切点为(x0，xx01)则2x01，x00或x02.当x00时，曲线yx2x1在点(0,1)处的切线斜率为1，方程为y1x，即xy10.当x02时，切线方程为3xy30.【答案】D12点P是曲线x2y2ln 0上任意一点，则点P到直线4x4y10的最短距离是()A.(1ln 2)B(1ln 2)C.D(1ln 2)【解析】将直线4x4y10平移后得直线l：4x4yb0，使直线l与曲线切于点P(x0，y0)，由x2y2ln 0得y2x，直线
5、l的斜率k2x01解得x0或x01(舍去)，P，所求的最短距离即为点P到直线4x4y10的距离d(1ln 2)【答案】B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上)13若y3cot x，则y_. 【导学号：63470074】【解析】y3(cot x)3.【答案】14下列四个命题中，正确命题的序号为_若f(x)，则f(0)0；(loga x)xln a；加速度是质点的位移s对时间t的导数；曲线yx2在点(0,0)处有切线【解析】因为f(x)，当x趋近于0时平均变化率不存在极限，所以函数f(x)在x0处不存在导数，故错误；(loga x)，故错误；瞬时速度是位移
6、s对时间t的导数，故错误；曲线yx2在点(0,0)处的切线方程为y0，故正确【答案】15已知直线ykx是曲线yx32的一条切线，则k的值为_【解析】设切点为M(x0，y0)，则y0x2，y0kx0，y3x2，k3x，将代入得y03x，将代入得x01，y03，代入得k3.【答案】316(2016临沂高二检测)设函数f(x)的导数为f(x)，且f(x)fsin xcos x，则f_.【解析】因为f(x)fsin xcos x，所以f(x)fcos xsin x，所以ffcossin.即f1，所以f(x)sin xcos x，故fcossin.【答案】三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文
7、字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知某运动着的物体的运动方程为s(t)2t2(路程单位：m，时间单位：s)，求s(3)，并解释它的实际意义. 【导学号：63470075】【解】s(t)2t22t22t2，s(t)24t，s(3)12，即物体在t3 s时的瞬时速度为 m/s.18(本小题满分12分)求过曲线ycos x上点P且与过这点的切线垂直的直线方程【解】ycos x，ysin x.曲线在点P处的切线斜率是y|xsin .过点P且与切线垂直的直线的斜率为.所求直线方程为y.19(本小题满分12分)求满足下列条件的函数f(x)(1)f(x)是三次函数，且f(0)3，f(0)
8、0，f(1)3，f(2)0；(2)f(x)是二次函数，且x2f(x)(2x1)f(x)1.【解】(1)由题意设f(x)ax3bx2cxd(a0)，则f(x)3ax22bxc.由已知解得a1，b3，c0，d3.故f(x)x33x23.(2)由题意设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb.所以x2(2axb)(2x1)(ax2bxc)1，化简得(ab)x2(b2c)xc1，此式对任意x都成立，所以得a2，b2，c1，即f(x)2x22x1.20(本小题满分12分)已知两曲线f(x)x3ax和g(x)x2bxc都经过点P(1,2)，且在点P处有公切线，试求a，b，c的值【解】点P(1,2)
9、在曲线f(x)x3ax上，21a，a1，函数f(x)x3ax和g(x)x2bxc的导数分别为f(x)3x2a和g(x)2xb，且在点P处有公切线，312a21b，得b2，又由点P(1,2)在曲线g(x)x2bxc上可得21221c，得c1.综上，a1，b2，c1.21(本小题满分12分)已知函数f(x)在x处的切线为l，直线g(x)kx与l平行，求f(x)的图像上的点到直线g(x)的最短距离【解】因为f(x)，所以f(x).所以切线l的斜率为kf1，切点为T.所以切线l的方程为xy0.因为切线l与直线g(x)kx平行，所以k1，即g(x)x.f(x)的图像上的点到直线g(x)x的最短距离为切线
10、l：xy0与直线xy0之间的距离，所以所求最短距离为.22(本小题满分12分)已知直线l1为曲线f(x)x2x2在点P(1,0)处的切线，l2为曲线的另一条切线，且l2l1.(1)求直线l2的方程；(2)求直线l1，l2与x轴所围成的三角形的面积S.【解】(1)设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，由题意可知k1f(1)3，故直线l1的方程为y3x3，由l1l2，可知直线l2的斜率为，设l2与曲线相切于点Q(x0，y0)，则k2f(x0)，解得x0，代入曲线方程解得y0，故直线l2的方程为y，化简得到3x9y220.(2)直线l1，l2与x轴交点坐标分别为(1,0)，联立解得两直线交点坐标为，故所求三角形的面积S.