1、习题课:带电粒子在有界磁场中的运动课后篇巩固提升必备知识基础练1.半径为r的圆形空间内,存在着垂直于纸面向里的匀强磁场,一个带电粒子(不计重力)从A点以速度v0垂直磁场方向射入磁场中,并从B点射出。AOB=120,如图所示,则该带电粒子在磁场中运动的时间为()A.2r3v0B.23r3v0C.r3v0D.3r3v0解析从AB所对圆心角=60,知t=16T=m3qB。但题中已知条件不够,没有此选项,另想办法找规律表示t。匀速圆周运动t=ABv0,从题图分析有R=3r,则AB=R=3r3=33r,则t=ABv0=3r3v0,故D正确。答案D2.如图所示,圆心角为90的扇形区域MON内存在方向垂直纸
2、面向外的匀强磁场,P点为半径OM的中点。现有比荷相等的两个带电粒子a、b,以不同的速度大小先后从P点沿ON方向射入磁场,粒子a从M点射出,粒子b从N点射出,不计粒子重力及粒子间相互作用。下列说法正确的是()A.粒子a带正电,粒子b带负电B.粒子a、b的加速度大小之比为15C.粒子a、b的角速度之比为15D.粒子a在磁场中运动时间较短解析由题设条件画出带电粒子a、b在扇形磁场中做匀速圆周运动的轨迹如图所示,由左手定则可知a粒子带负电,b粒子带正电,选项A错误;若磁场区域扇形半径为R,由几何关系可知ra=R4,rb2=R2+rb-R22,解得rb=54R,由公式qvB=mv2r得r=mvqB,则v
3、avb=rarb=R45R4=15,又qvB=ma,得a=qvBm,则aaab=vavb=15,选项B正确;ab=varavbrb=vavbrbra=1,故C错误;带电粒子在磁场中运动的周期T=2rv=2mqB,显然只与粒子比荷和磁感应强度有关,所以ta=12T,由几何关系知b粒子偏转的角度为53,所以tb=53360T,粒子a运动时间长,所以选项D错误。答案B3.(多选)长为l的水平极板间,有垂直纸面向里的匀强磁场,如图所示,磁感应强度为B,板间距离为l,极板不带电,现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力),从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场,欲使粒子不打在极板上,可采
4、用的办法是()A.使粒子的速度v5Bql4mC.使粒子的速度vBqlmD.使粒子的速度Bql4mv5Bql4m解析如图所示,由题意知,若带正电的粒子从极板左边射出磁场,其在磁场中做圆周运动的半径Rl4,粒子在磁场中做圆周运动,洛伦兹力提供向心力,即qvB=mv2r可得粒子做圆周运动的半径:r=mvqB粒子不从左边射出,则:mvqBl4即v5l4即v5Bql4m,故欲使粒子打在极板上,粒子的速度必须满足v5Bql4m故A、B正确,C、D错误。答案AB4.(多选)如图所示,在x0,y0的空间有恒定的匀强磁场,磁感应强度的方向垂直于xOy平面向里,大小为B,现有四个质量及电荷量均相同的带电粒子,由x
5、轴上的P点以不同的初速度平行于y轴射入此磁场,运动轨迹如图所示,不计重力的影响,则()A.初速度最大的粒子是沿射出的粒子B.初速度最大的粒子是沿射出的粒子C.在磁场中运动时间最长的是沿射出的粒子D.在磁场中运动时间最长的是沿射出的粒子解析显然图中四条圆弧中对应的半径最大,由半径公式r=mvBq可知,质量和电荷量相同的带电粒子在同一个磁场中做匀速圆周运动的速度越大,半径越大,A对,B错;根据周期公式T=2mqB知,当圆弧对应的圆心角为时,带电粒子在磁场中运动的时间为t=mqB,圆心角越大,则带电粒子在磁场中运动时间越长,圆心均在x轴上,由题图可知的圆心角为,且最大,故在磁场中运动时间最长的是沿射
6、出的粒子,C错,D对。答案AD5.(多选)如图所示,在一矩形区域内,不加磁场时,不计重力的带电粒子以某一初速度垂直左边界射入,穿过此区域的时间为t。若加上磁感应强度为B、水平向外的匀强磁场,带电粒子仍以原来的初速度入射,粒子飞出时偏离原方向60,利用以上数据可求出下列物理量中的()A.带电粒子的比荷B.带电粒子在磁场中运动的周期C.带电粒子的初速度D.带电粒子在磁场中运动所对应的圆心角解析由带电粒子在磁场中运动的偏向角,可知带电粒子运动轨迹所对的圆心角为60,因此由几何关系得l=Rsin60,又由Bqv0=mv02R得R=mv0qB,故l=mv0qBsin60,又因未加磁场时有l=v0t,所以
7、可求得比荷qm=sin60Bt,故A、D正确;根据周期公式T=2mBq可得带电粒子在磁场中运动的周期T=2mBq=2BBtsin60=2tsin60,故B正确;由于半径未知,所以初速度无法求出,C错误。答案ABD6.如图所示为一圆形区域的匀强磁场,在O点处有一放射源,沿半径方向射出速率为v的不同带电粒子,其中带电粒子1从A点飞出磁场,带电粒子2从B点飞出磁场,不考虑带电粒子的重力。则()A.带电粒子1的比荷与带电粒子2的比荷的比值为31B.带电粒子1的比荷与带电粒子2的比荷的比值为31C.带电粒子1与带电粒子2在磁场中运动时间的比值为21D.带电粒子1与带电粒子2在磁场中运动时间的比值为12解
8、析根据题图中几何关系,tan60=Rr1,tan30=Rr2,带电粒子在匀强磁场中运动,r=mvqB,联立解得带电粒子1的比荷与带电粒子2的比荷的比值为31,选项A正确,选项B错误;带电粒子1与带电粒子2在磁场中运动时间的比值为t1t2=23r13r2=2r1r2=23,选项C、D错误。答案A7.(2019全国卷)如图,在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场,磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后,沿平行于x轴的方向射入磁场;一段时间后,该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出。已知O点为坐标原点,N点在y轴上,OP与x轴的夹角为30,粒子进入磁场的入射
9、点与离开磁场的出射点之间的距离为d,不计重力。求(1)带电粒子的比荷;(2)带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间。解析(1)设带电粒子的质量为m,电荷量为q,加速后的速度大小为v。由动能定理有qU=12mv2设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r,由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有qvB=mv2r由几何关系知d=2r联立式得qm=4UB2d2(2)由几何关系知,带电粒子射入磁场后运动到x轴所经过的路程为s=r2+rtan30带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间为t=sv联立式得t=Bd24U2+33答案(1)4UB2d2(2)Bd24U2+338.如图所示,在平面直角坐标系xOy的第四象限有垂直纸
10、面向里的匀强磁场,一质量为m=5.010-8 kg、电荷量为q=1.010-6 C的带正电的粒子由静止开始经U0=10 V的电压加速后,从P点沿图示方向进入磁场,已知OP=30 cm,粒子重力不计,sin 37=0.6,cos 37=0.8。(1)求带电粒子到达P点时的速度v的大小;(2)若粒子不能进入x轴上方,求磁感应强度B满足的条件。解析(1)对于带电粒子的加速过程,由动能定理得qU0=12mv2,解得v=20m/s。(2)带电粒子不从x轴射出的临界情况如图所示。由题意和几何关系得OPR+Rcos53,带电粒子仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,有qvB=mv2R,解得B163T。答案(1)
11、20 m/s(2)B163 T关键能力提升练9.如图所示,圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,一个带电粒子以速度v从A点沿直径AOB方向射入磁场,经过t时间从C点射出磁场,OC与OB成60角。现将带电粒子的速度变为v3,仍从A点沿原方向射入磁场,不计重力,则粒子在磁场中的运动时间变为()A.12tB.2tC.13tD.3t解析设带电粒子以速度v进入磁场做圆周运动,圆心为O1,半径为r1,则根据qvB=mv2r,得r1=mvqB,根据几何关系得Rr1=tan12,且1=60。当带电粒子以13v的速度进入时,轨道半径r2=m13vqB=mv3qB=13r1,圆心在O2,则Rr2=tan22,即t
12、an22=Rr2=3Rr1=3tan12=3。故22=60,2=120;带电粒子在磁场中运动的时间t=360T,所以t2t1=21=21,即t2=2t1=2t,故选项B正确,选项A、C、D错误。答案B10.如图所示,虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场,P为磁场边界上的一点。大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点,在纸面内沿不同方向射入磁场。若粒子射入速率为v1,这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上;若粒子射入速率为v2,相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用,则v2v1为()A.32B.21C.31D.32解析当粒子在磁场中运动轨迹是半圆时,出
13、射点与入射点的距离最远,故射入的速率为v1时,对应轨道半径为r1=Rsin30,射入的速率为v2时,对应轨道半径为r2=Rsin60,由半径公式r=mvqB可知,轨道半径与速率成正比,因此v2v1=r2r1=3,C正确。答案C11.(多选)电荷量分别为q和-q的两个带电粒子a、b分别以速度va和vb射入匀强磁场,两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为30和60,磁场宽度为d且AB=d,两粒子同时由A点射入,同时到达B点,如图所示,则()A.a粒子带负电,b粒子带正电B.两粒子的轨道半径之比rarb=31C.两粒子的速度之比vavb=12D.两粒子的质量之比mamb=12解析根据左手定则可判断出
14、,a粒子带负电,b粒子带正电,故A正确;两粒子在磁场中做圆周运动,如图所示,Oa、Ob分别为其轨迹圆心,磁场宽度为d,由几何关系可知ra=3d3,rb=d,所以rarb=13,故B错误;两粒子的轨迹所对圆心角分别为a=120和b=60,两粒子在磁场中的运动时间相等,即Ta3=Tb6,则Tb=2Ta,洛伦兹力提供向心力,运动周期T=2mqB,两粒子的电荷量相同,在同一磁场中,B相同,周期与质量成正比,所以mamb=TaTb=12,故D正确;由qvB=mv2r得v=qBrm,即速度与轨迹半径成正比,与质量成反比,所以vavb=rarbmbma=1321=23,故C错误。答案AD12.如图所示,直角
15、三角形ABC区域中存在一匀强磁场,磁感应强度为B,已知AB边长为L,C=30,比荷均为qm的带正电粒子(不计重力)以不同的速率从A点沿AB方向射入磁场,求:(1)粒子从AC或BC边界离开磁场时速率满足的条件;(2)粒子在磁场中运动的最长时间;(3)粒子在磁场中运动的最长路程。解析(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动,当粒子运动轨迹恰好与BC边相切时,粒子运动轨迹如图所示。由几何知识得,粒子轨道半径r=AB=L,洛伦兹力提供向心力,由牛顿第二定律得qvB=mv2r,解得v=qBLm,粒子在磁场中做圆周运动的周期为T=2mqB,粒子在磁场中的运动时间为t=2T;当粒子速度vqBLm时,粒子都从AC边离开磁场,粒子在磁场中转过的圆心角=120,当粒子速度vqBLm时,粒子从BC边离开磁场,粒子在磁场中转过的圆心角qBLm时,粒子从BC边离开磁场(2)2m3qB(3)2L3