1、学业分层测评(十九)(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1以A(1,2)，B(3,0)的中点为圆心，以为半径的圆的方程为_【解析】AB中点为(2,1)，所以圆的方程为(x2)2(y1)25.【答案】(x2)2(y1)252点P(2，2)和圆x2y24的位置关系是_【解析】(2)2(2)284，P点在圆外【答案】P在圆外3若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线yx对称，则圆C的标准方程为_【解析】由题意知圆C的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C的标准方程为x2(y1)21.【答案】x2(y1)214圆(x2)2y25关于原点P(0,0)对称的圆的方程为_【解析】已知圆的圆心为(2,
2、0)，它关于P(0,0)的对称点为(2,0)，所以关于P对称的圆的方程为(x2)2y25.【答案】(x2)2y255直线yax1与圆x2y22x30的位置关系是_. 【导学号：60420079】【解析】直线yax1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x1)2y24的内部，故直线与圆相交【答案】相交6若过点A(a，a)可作圆x2y22axa22a30的两条切线，则实数a的取值范围为_【解析】圆的方程化为(xa)2y232a，过点A(a，a)可作圆的两条切线，点A(a，a)在圆外，可得解得a3或1a0)代入三点的坐标得解方程组，得所以经过A，B，C三点的圆的标准方程为(x1)2(y3)25.将
3、D点坐标代入圆的标准方程的左边，得(11)2(23)25，所以点D在圆上，所以A，B，C，D四点在同一个圆上10如图222所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成已知隧道总宽度AD为6 m，行车道总宽度BC为2 m，侧墙EA，FD高为2 m，弧顶高MN为5 m.图222(1)建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程；(2)为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5 m请计算车辆通过隧道的限制高度是多少【解】(1)法一以EF所在直线为x轴，以MN所在直线为y轴，以1 m为单位长度建立直角坐标系则有E(3，0)，F(3，0)，M(0,3)
4、由于所求圆的圆心在y轴上，所以设圆的方程为(x0)2(yb)2r2，F(3，0)，M(0,3)都在圆上，解得b3，r236.所以圆的方程是x2(y3)236.法二以EF所在直线为x轴，以MN所在直线为y轴，以1 m为单位长度建立直角坐标系设所求圆的圆心为G，半径为r，则点G在y轴上，在RtGOE中，|OE|3，|GE|r，|OG|r3，由勾股定理，r2(3)2(r3)2，解得r6，则圆心G的坐标为(0，3)，圆的方程是x2(y3)236.(2)设限高为h，作CPAD，交圆弧于点P，则|CP|h0.5.将点P的横坐标x代入圆的方程，得2(y3)236，解得y2，或y8(舍)所以h|CP|0.5(
5、y|DF|)0.5(22)0.53.5(m)即车辆的限制高度为3.5 m.能力提升1(2015全国卷改编)已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则ABC外接圆的圆心到原点的距离为_【解析】在坐标系中画出ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得|AB|AC|BC|2(也可以借助图形直接观察得出)，所以ABC为等边三角形设BC的中点为D，点E为外心，同时也是重心所以|AE|AD|，从而|OE|.【答案】2(2016徐州高一检测)若圆C经过(1,0)，(3,0)两点， 且与y轴相切，则圆C的方程为_. 【导学号：60420080】【解析】设圆C的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，由题意
6、得解得圆C的方程为(x2)2(y)24.【答案】(x2)2(y)243已知实数x，y满足y，则t的取值范围是_【解析】y表示上半圆，t可以看作动点(x，y)与定点(1，3)连线的斜率如图，A(1，3)，B(3,0)，C(3,0)，则kAB，kAC，t或t.【答案】t或t4已知实数x，y满足方程(x2)2y23.(1)求的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和最小值【解】(1)原方程表示以点(2,0)为圆心，以为半径的圆，设k，即ykx，当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时，解得k.故的最大值为，最小值为.(2)设yxb，即yxb，当yxb与圆相切时，纵截距b取最大值和最小值，此时，即b2.故yx的最大值为2，最小值为2.(3)x2y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x2y2)max(2)274，(x2y2)min(2)274.