1、1.1命题及其关系1.1.1四种命题1了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义(重点)2会分析四种命题的相互关系(难点)3会写出四种命题和进行真假性的判断(易错点)基础初探教材整理1命题阅读教材P5上半部分，完成下列问题1定义：能够判断真假的语句叫做命题2真假命题：命题中正确的语句叫做真命题，错误的语句叫做假命题3命题的一般形式为“若p则q”通常，命题中的p是命题的条件，q是命题的结论判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)“2100是个大数”是真命题()(2)“若x1，则x2x20”的条件是x1.()(3)求证“四边形ABCD是平行四边形”是命题()【解析】(1).因为不能判断真假(2).在
2、命题“若p则q”中，p是条件，q是结论(3).该语句不是陈述句且不能判断真假【答案】(1)(2)(3)教材整理2四种命题及其结构阅读教材P5中间部分，完成下列问题1四种命题的概念一般地，对于两个命题，(1)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们称这两个命题为互逆命题(2)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么称这两个命题为互否命题(3)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这样的两个命题称为互为逆否命题以上定义中，把第一个命题叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题2四种命题的结构1判
3、断(正确的打“”，错误的打“”)(1)命题“若非p则q”的否命题为“若非p则非q”()(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题()【答案】(1)(2)2命题“若x3，则x2”的否命题为_【解析】由命题“若p则q”的否命题为“若非p则非q”，可知命题“若x3，则x2”的否命题为“若x3，则x2”【答案】若x3，则x23命题“若两条直线平行，则这两条直线的倾斜角相等”的逆命题为_. 【导学号：09390000】【解析】由命题“若p则q”的逆命题为“若q则p”，可知命题“若两条直线平行，则这两条直线的倾斜角相等”的逆命题为“若两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行”【答案】若两条直线的倾
4、斜角相等，则这两条直线平行教材整理3四种命题的关系阅读教材P5以下部分，完成下列问题1四种命题之间的关系2四种命题的真假一般地，互为逆否命题的两个命题，要么都是真命题，要么都是假命题给出下列命题：(1)若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；(2)若一个四边形对角互补，则它内接于圆；(3)正方形的四条边相等；(4)圆内接四边形对角互补；(5)对角不互补的四边形不内接于圆；(6)若一个四边形的四条边相等，则它是正方形其中互为逆命题的有_；互为否命题的有_；互为逆否命题的有_【解析】命题(3)可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题(4)可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则
5、它的对角互补”；命题(5)可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”因此互为逆命题的有(3)和(6)，(2)和(4)；互为否命题的有(1)和(6)，(2)和(5)；互为逆否命题的有(1)和(3)，(4)和(5)【答案】(3)和(6)，(2)和(4)(1)和(6)，(2)和(5)(1)和(3)，(4)和(5)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：小组合作型命题及真假判定判断下列语句是否为命题，若是命题，则判断其真假(1)是无限循环小数；(2)x23x20；(3)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？(4)一个等比数列的公比大于
6、1时，该数列为递增数列；(5)当x4时，2x10；(6)把门关上【精彩点拨】首先判断是不是命题，如果是，然后再判断它是真命题还是假命题【自主解答】(1)能判断真假，是命题，是假命题(2)不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，无法判断语句的真假(这种语句叫“开语句”)(3)不能判断真假，不是命题(4)是命题，当等比数列的首项a11时，该数列是递减数列，因此是一个假命题(5)能判断真假，是命题，是真命题(6)因为没有作出判断，所以不是命题1判断一个语句是不是命题，关键是看能不能判断真假2判定一个命题是真命题时，一般需要经过严格的推理论证，论证要有推理依据，有时应综合各种情况作出正确的
7、判断；而判定一个命题为假命题时，只需举出一个反例即可再练一题1判断下列语句是不是命题，若是，判断真假，并说明理由(1)求证2是质数(2)若xR，则x24x70.(3)你是高一学生吗？(4)一个正整数不是质数就是合数(5)xy是有理数，则x，y也都是有理数(6)2x5.【解】(1)祈使句，不是命题(2)是真命题，因为x24x7(x2)230对于xR，不等式恒成立(3)是疑问句，不涉及真假，不是命题(4)是假命题，正整数1既不是质数，也不是合数(5)是假命题，如x，y.(6)不是命题，这种含有未知数的语句，未知数的取值能否使不等式成立，无法确定四种命题的概念把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写
8、出它们的逆命题、否命题和逆否命题(1)相似三角形的对应角相等；(2)当x3时，x24x30；(3)正方形的对角线互相平分【精彩点拨】先要找出条件和结论，写成若p则q，写出逆命题、否命题和逆否命题时要清晰它们的定义【自主解答】(1)原命题：若两个三角形相似，则这两个三角形的三个角对应相等；逆命题：若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相似；否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形的三个角对应不相等；逆否命题：若两个三角形的三个角对应不相等，则这两个三角形不相似(2)原命题：若x3，则x24x30；逆命题：若x24x30，则x3；否命题：若x3，则x24x30；逆否命题：若x24x30，则
9、x3.(3)原命题：若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分；逆命题：若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形；否命题：若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分；逆否命题：若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形1由原命题写出其它三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件和结论互换即得逆命题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互换的同时，进行否定即得逆否命题2如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变再练一题2设“若x2y20，则x，y至少有一个不为0”是命题A的逆否命题，请写出命题A，并写出命题A的逆命题，否命题.
10、【导学号：09390001】【解】命题A：若x0且y0，则x2y20.命题A的逆命题：若x2y20，则x0，y0.命题A的否命题：若x0或y0，则x2y20.四种命题真假的判断分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假(1)若q1，则关于x的方程x22xq0有实根；(2)若ab0，则a0或b0；(3)若x2y20，则x，y全为零【精彩点拨】依据写出的命题进行真假判定或用等价命题进行判定【自主解答】(1)逆命题：若关于x的方程x22xq0有实根，则q1.是真命题否命题：若q1，则关于x的方程x22xq0无实根是真命题逆否命题：若关于x的方程x22xq0无实根，则q1.是真命题(
11、2)逆命题：若a0或b0，则ab0.是真命题否命题：若ab0，则a0且b0.是真命题逆否命题：若a0且b0，则ab0.是真命题(3)逆命题：若x，y全为零，则x2y20.是真命题否命题：若x2y20，则x，y不全为零是真命题逆否命题：若x，y不全为零，则x2y20.是真命题判断命题真假的方法1解决此类问题的关键是牢记四种命题的概念，正确地写出所涉及的命题，判定为真的命题需要简单的证明，判定为假的命题要举出反例加以印证2原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与它的逆命题同真同假，故二者只判断一个即可再练一题3判断下列四个命题的真假，并说明理由(1)“若xy0，则x，y互为相反数”的否命题；
12、(2)“若xy，则x2y2”的逆否命题；(3)若“x3，则x2x60”的否命题；(4)“对顶角相等”的逆命题【解】(1)命题“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则xy0”，则逆命题为真命题，因为原命题的逆命题和否命题具有相同的真假性，所以“若xy0，则x，y互为相反数”的否命题是真命题(2)令x1，y2，满足xy，但x2y2，所以“若xy，则x2y2”是假命题，因为原命题与其逆否命题具有相同的真假性，所以“若xy，则x2y2”的逆否命题也是假命题(3)该命题的否命题为“若x3，则x2x60”，令x4，满足x3，但x2x660，不满足x2x60，故该否命题是假命题(4
13、)该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”是假命题，如等边三角形的任意两个内角都相等，但它们不是对顶角探究共研型四种命题的关系探究1给出一个原命题时，如何写出它的逆命题和否命题？当原命题真假确定时，它的逆命题和否命题真假确定吗？【提示】先把原命题写成“若p则q”的形式，它的逆命题就是“若q则p”，它的否命题就是“若非p则非q”；当原命题的真假确定时，它的逆命题和否命题真假不确定，但逆命题和否命题同真同假如真命题“若x1，则x22x30”的逆命题和否命题均为假；又如真命题“若ab，则acbc”的逆命题和否命题均为真命题探究2四种命题的真假性，有且只有哪几种情况？能对这几种情况归纳成结论吗？【提示】有
14、且仅有下面四种情况：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假结论：原命题和它的逆否命题同真同假；一个命题的逆命题和否命题同真同假；原命题和它的逆命题、否命题真假不一定相同证明：已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，bR，若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0.【精彩点拨】根据原命题与逆否命题的等价性，先证逆否命题即可【自主解答】原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，bR，若ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)”证明如下：若ab0，则ab，ba.又f(x)在(，)上是增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a)，f(a)f(b)f(a)f(b)
15、即原命题的逆否命题为真命题原命题为真命题由于原命题与它的逆否命题具有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题.再练一题4判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集不是空集，则a1”的逆否命题的真假. 【导学号：09390002】【解】法一原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a1，则关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集为空集真假判断如下：抛物线yx2(2a1)xa22开口向上，判别式(2a1)24(a22)4a7，若a1，则4a70.即抛物线yx2(2a1)xa22与x轴无交点所以
16、关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集为空集故原命题的逆否命题为真法二先判断原命题的真假因为a，x为实数，且关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集不是空集，所以(2a1)24(a22)0，即4a70，所以a1.所以原命题成立又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真构建体系1下列语句不是命题的个数有_个21；x1；若x2，则x1，则lg a0”及其逆命题、否命题、逆否命题四个命题中真命题的个数为_个. 【导学号：09390003】【解析】原命题是真命题，逆命题“对于正数a，若lg a0，则a1”也是真命题根据四种命题的真假关系，其否命题和逆否命题也是真命题【答案】44与命题“能
17、被4整除的整数，一定能被2整除”的等价命题为_【解析】与命题“能被4整除的整数，一定能被2整除”等价的命题是它的逆否命题：若一个整数不能被2整除，则这个整数一定不能被4整除【答案】若一个整数不能被2整除，则这个整数一定不能被4整除5将命题“当a0时，函数f(x)ax2bxc的图象是开口向上的抛物线”写成“若p则q”的形式，写出其否命题和逆否命题，并判断真假【解】命题“当a0时，函数f(x)ax2bxc的图象是开口向上的抛物线”写成“若p则q”的形式为：若a0，则函数f(x)ax2bxc的图象是开口向上的抛物线，是真命题；否命题：若a0，则函数f(x)ax2bxc的图象不是开口向上的抛物线，是真
18、命题；逆否命题：若函数f(x)ax2bxc的图象不是开口向上的抛物线，则a0，是真命题我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1给出下列语句：空集是任何集合的真子集；三角函数是周期函数吗？一个数不是正数就是负数；老师写的粉笔字真漂亮！若xR，则x24x50.其中为命题的序号是_，为真命题的序号是_【答案】2已知a，b，cR，命题“若abc3，则a2b2c23”的否命题是_【解析】同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题【答案】若abc3，则a2b2c233若命题p的逆命题是q，命题q的否命题是r，则p是r的_命题【
19、解析】不妨设p：若A则B；则q：若B则A；那么q的否命题r为：若非B则非A.故p是r的逆否命题【答案】逆否4命题“若x5，则x28x150”，那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中，真命题的个数有_个【解析】由x28x150，得x3或5.所以原命题正确，而逆命题和否命题不正确，逆否命题是正确的，故真命题有1个【答案】15命题“若ab，则2a2b1”的否命题为_【答案】若ab，则2a2b16命题“若实数a，b，c成等比数列，则b2ac”的逆命题是_，是_命题(填“真”或“假”)【解析】“若p则q”的逆命题是“若q则p”【答案】若b2ac，则实数a，b，c成等比数列假7(2016聊城高二检测
20、)原命题为“若an，nN*，则an为递减数列”，其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是_个. 【导学号：09390004】【解析】由an，得an1an，所以数列an为递减数列，故原命题是真命题，其逆否命题为真命题易知原命题的逆命题为真命题，所以其否命题也为真命题【答案】38给出下列命题：命题“若b24acb0，则0”的逆否命题；“若m1，则mx22(m1)x(m3)0的解集为R”的逆命题其中真命题的序号为_【解析】否命题为“若b24ac0，则方程ax2bxc0(a0)有实数根”，是真命题；逆命题为“若ABC为等边三角形，则ABBCCA”，是真命题；因为命题“若ab0，则0”是真命题，故其逆
21、否命题为真命题；逆命题为“若mx22(m1)x(m3)0的解集为R，则m1”，是假命题【答案】二、解答题9写出命题“若xy0，则x0”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假【解】(1)逆命题：若x0，则xy0，显然是真命题；(2)否命题：若xy0，则x0，因为逆命题和否命题互为逆否命题，逆命题为真命题，所以否命题也是真命题；(3)逆否命题：若x0，则xy0，为假命题，例如x2，y0，满足x0，但xy0，所以逆否命题为假命题10判断命题“若m0，则方程x22x3m0有实数根”的逆否命题的真假【解】m0，12m0，12m40.方程x22x3m0的判别式12m40.原命题“若m0，则方程x22x3
22、m0有实数根”为真命题又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m0，则方程x22x3m0有实数根”的逆否命题也为真命题能力提升1(2016上海高三模拟)原命题“设a，b，cR，若ab，则ac2bc2”和它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数共有_个【解析】若c0，则原命题不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；由ac2bc2知c20，由不等式的基本性质得ab，逆命题为真由等价命题同真同假知否命题也为真，有2个真命题【答案】22已知命题“若m1xm1，则1x2”的逆否命题为真命题，则实数m的取值范围是_【解析】因为命题“若m1xm1，则1x2”的逆否命题为真命题，所以原命题也是真命题，
23、则解得0m1，则实数m的取值范围是0,1【答案】0,13下列四个命题：“如果x2x60，则x2”的否命题；“若ab2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题为真命题；命题“若xy，则sin xsin y”的逆否命题为假命题其中真命题的序号是_【解析】对于，命题的否命题为“如果x2x60，则x2”，由x2x60，得3x2，能得到x2，是真命题；对于，“若ab2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a，b中至少有一个不小于1，则ab2”为假命题，例如a21，b1，则ab12，故是假命题；对于，命题“若xy，则sin xsin y”为真命题，所以它的逆否命题为真命题，故错误【答案】4已知命题p：函数f(x)x2mx1有两个不等的负零点；命题q：函数g(x)4x24(m2)x1无零点若命题p和q只有一个为真命题，求实数m的取值范围【解】命题p：函数f(x)x2mx1有两个不等的负零点，方程x2mx10有两个不等的负实数根，解得m2.又命题q：函数g(x)4x24(m2)x1无零点，方程4x24(m2)x10没有实数根，16(m2)2160，解得1m3.若命题p为真，命题q为假，则m3.若命题p为假，命题q为真，则1m2.综上可知，实数m的取值范围是(1,23，).
