1、考点突破夯基释疑考点一考点三考点二例 1训练1例 2训练2例 3训练3第3讲 基本不等式及其应用 概要课堂小结结束放映返回目录第2页 1判断正误(在括号内打“”或“”)(1)当 a0，b0 时，ab2 ab.()(2)两个不等式 a2b22ab 与ab2 ab成立的条件是相同的()(3)函数 yx1x的最小值是 2.()(4)x0 且 y0 是xyyx2 的充要条件()夯基释疑结束放映返回目录第3页 考点突破考点一 利用基本不等式证明简单不等式例 1 已知 x0，y0，z0.求证：yxzx xyzy xzyz 8.证明x0，y0，z0，yxzx2 yzx0，xyzy2 xzy0，xzyz2 x
2、yz0，yxzx xyzy xzyz 8 yz xz xyxyz8.当且仅当 xyz 时等号成立规律方法 利用基本不等式证明新的不等式的基本思路是：利用基本不等式对所证明的不等式中的某些部分放大或者缩小，在含有三个字母的不等式证明中要注意利用对称性结束放映返回目录第4页 考点突破考点一 利用基本不等式证明简单不等式训练 1 已知 a0，b0，c0，且 abc1.求证：1a1b1c9.证明 a0，b0，c0，且 abc1，1a1b1cabcaabcbabcc3bacaabcbacbc3baab caac cbbc32229，当且仅当 abc13时，取等号结束放映返回目录第5页【例题 2】解下列问
3、题：(共有 4 个小题)(1)已知 a0，b0，且 4ab1，求 ab 的最大值；考点突破考点二 利用基本不等式求最值解析（1）法一a0，b0，4ab1，14ab2 4ab4 ab，当且仅当 4ab12，即 a18，b12时，等号成立 ab14，ab 116.所以 ab 的最大值为 116.法二 a0，b0，4ab1，深度思考 解决与基本不等式有关的最值问题，你学会“拼凑”了吗？(利用基本不等式求解最值问题，要根据代数式或函数解析式的特征灵活变形，凑积或和为常数的形式；条件最值问题要注意常数的代换，凑成基本不等式的形式求解最值)144ab22 116，当且仅当 4ab12，即 a18，b12时
4、，等号成立ab144ab 所以 ab 的最大值为 116.结束放映返回目录第6页(2)若正数 x，y 满足 x3y5xy，求 3x4y 的最小值；(3)已知 x54，求 f(x)4x214x5的最大值；考点突破考点二 利用基本不等式求最值解（2）由 x3y5xy 得3x1y5，3x4y15(3x4y)3x1y15（1312yx 3xy）15(13212yx 3xy)15(13+12)=5当且仅当12yx 3xy，即 x2y 时，等号成立，此时由x2y，x3y5xy，解得x1，y12.(3)因为 x54，所以 54x0，则 f(x)4x214x5(54x154x)3231.当且仅当 54x154
5、x，即 x1 时，等号成立故 f(x)4x214x5的最大值为 1.凑积为常数结束放映返回目录第7页【例题 2】(4)已知函数 f(x)4xax(x0，a0)在 x3 时取得最小值，求 a 的值考点突破(4)f(x)4xax24xax4 a，考点二 利用基本不等式求最值当且仅当 4xax，即 4x2a 时f(x)取得最小值又x3，a43236.结束放映返回目录第8页 考点突破规律方法(1)利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或乘积为定值，主要有两种思路：对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求
6、最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等考点二 利用基本不等式求最值结束放映返回目录第9页 考点突破(2)设 0 x52，则函数 y4x(52x)的最大值为_(3)见下页)解析(2)因为 0 x52，所以 52x0，所以 y4x(52x)22x(52x)22x52x22252，从而 a 的最小值为 4，故选 A.考点二 利用基本不等式求最值当且仅当 2x52x，即 x54时等号成立，故函数 y4x(52x)的最大值为252.(1)因为 x0，a0，所以 xax2 a，要使 xax4 在 x(
7、0，)上恒成立，则需 2 a4，所以 a4，训练 2(1)(2014闽南四校联考)设 a0,若关于 x 的不等式 xax4在 x(0，)上恒成立，则 a 的最小值为()A4 B2 C16 D1凑和为常数结束放映返回目录第10页 考点突破训练 2(3)设 x1，则函数 y(x5)(x2)x1的最小值为_故函数 y(x5)(x2)x1的最小值为 9.考点二 利用基本不等式求最值(3)因为 x1，所以 x10，所以 y(x5)(x2)x1x27x10 x1（x1）25（x1）4x1x1 4x152（x1）4x159，当且仅当 x1 4x1，即 x1 时等号成立，结束放映返回目录第11页 考点突破 考
8、点三 基本不等式的实际应用例 3(2014银川模拟)运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制 50 x100(单位：千米/时)假设汽油的价格是每升 2 元，而汽车每小时耗油2 x2360 升，司机的工资是每小时 14 元(1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式；(2)当 x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值解（1）设所用时间为 t130 x(h)，y130 x 22 x2360 14130 x，x50，100所以，这次行车总费用 y 关于 x 的表达式是(或 y2 340 x1318x，x50，100)y13018x2130360 x，x50，10
9、0结束放映返回目录第12页 考点突破 考点三 基本不等式的实际应用例 3(2014银川模拟)运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制 50 x100(单位：千米/时)假设汽油的价格是每升 2 元，而汽车每小时耗油2 x2360 升，司机的工资是每小时 14 元(1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式；(2)当 x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值解(2)y13018x2130360 x26 10，当且仅当13018x2130360 x，即 x18 10时，等号成立最低费用的值为 26 10元故当 x18 10千米/时，这次行车的总费用最低，结束放映
10、返回目录第13页 考点突破规律方法有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值；(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围；(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解考点三 基本不等式的实际应用结束放映返回目录第14页 考点突破解析(1)由题意可知，训练 3 首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量
11、最少为 400 吨，最多为 600 吨，月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为 y12x2200 x80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？二氧化碳每吨的平均处理成本为考点三 基本不等式的实际应用 yx12x80 000 x200 212x80 000 x200200，结束放映返回目录第15页 考点突破当且仅当12x80 000 x，即 x400 时等号成立，故该单
12、位月处理量为 400 吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为 200 元考点三 基本不等式的实际应用(2)不获利设该单位每月获利为 S 元，则 S100 xy100 x12x2200 x80 00012x2300 x80 00012(x300)235 000，因为 x400，600，所以 S80 000，40 000故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴 40 000 元才能不亏损.结束放映返回目录第16页 思想方法课堂小结1基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选
13、择好利用基本不等式的切入点2对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：abab22a2b22，abab2 a2b22(a0，b0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件结束放映返回目录第17页 易错防范课堂小结1注意基本不等式成立的条件是 a0，b0，若 a0，b0，应先转化为a0，b0，再运用基本不等式求解2“当且仅当 ab 时等号成立”的含义是“ab”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误3有些题目要多次运用基本不等式才能求出最后结果，针对这种情况，连续使用此定理要切记等号成立的条件要一致结束放映返回目录第18页（见教辅）